Нахождение энергии, запасенной в сферической оболочке, но интеграл расходится

Question

Нахождение энергии, запасенной в сферической оболочке, но интеграл расходится

патрик7

Я пытаюсь найти энергию, запасенную при сборке сферической оболочки (обозначается $S$ ) равномерное распределение общего заряда $q$ и радиус $R$ . Для этого я хочу использовать формулу:

Вт "=" \frac{1}{2} ϵ_{0} \int_{С} о В д а

$W = \frac{1}{2} \epsilon_0 \int_{\text{S}}\sigma V da$

Проблема возникает, когда я пытаюсь вычислить $V$ . Используя закон Гаусса, найти $E$ а потом $V$ , это легко увидеть $V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R}$ на поверхности сферы. Однако, когда я пытаюсь вычислить $V$ при использовании интегрального метода интеграл расходится. Формула для $V$ является

В "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{С} \frac{о}{| \vec{р} - \vec{р}^{'} |} д а^{'}

$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{|\vec{r}-\vec{r}\hspace{1pt}'|} da'$

где $\vec{r}$ это местонахождение $\rho$ и $\vec{r}\hspace{1pt}'$ это положение других зарядов, которые влияют $\rho$ . Можно видеть, что этот интеграл расходится, что имеет смысл, поскольку мы предполагаем непрерывное распределение заряда, что означает $|\vec{r}-\vec{r}\hspace{1pt}'| \to 0$ .

Я не понимаю, зачем это? Используя эти интегральные методы, мы все же должны прийти к тому же ответу, что и метод закона Гаусса. Может кто-нибудь объяснить, почему это не работает/или способ обойти эту проблему?

Ответы (2)

Нахождение энергии, запасенной в сферической оболочке, но интеграл расходится

скачко · Answer 1

Интеграл не расходится. Хотя |r−r′|→0, $da'=\sin(\theta)d\theta d\phi$ подходы $0$ также. Используя сферические координаты с точкой, в которой оценивается потенциал, расположенной на северном полюсе, получаем:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{грех (θ) д θ д ф}{\sqrt{2 - 2 потому что (θ)}} "=" 4 π

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(\theta)d\theta d\phi}{\sqrt{2-2\cos(\theta)}}=4\pi$

Твое право! Моя ошибка, я не совсем уверен, как я это испортил. Я забыл о знаке квадратного корня, когда использовал закон косинусов на |rr'|. Думал удалить весь этот пост, но может он будет полезен другим, которые тоже случайно забудут. Спасибо за ответ.

Бишал Саркар · Answer 2

Мы знаем, что электрическое поле внутри равномерно заряженной сферической оболочки равно нулю, так как все заряды лежат на внешней поверхности. т.е.,

{\vec{Е}}_{я н} "=" 0

$\vec E_{in}=0$ и

{\vec{Е}}_{о ты т} "=" \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{о} р^{2}} \hat{р}

$\vec E_{out}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_o r^2} \hat{r}$

$\textit{Electrostatic Energy stored in the spherical shell is :}$

U "=" \frac{1}{2} ϵ_{о} ∭_{В} Е^{2} д т

$U=\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V E^2 \, d\tau$

U "=" \frac{1}{2} ϵ_{о} \underset{0}{\underset{⏟}{∭_{В} Е_{я н}^{2} д т}} + \frac{1}{2} ϵ_{о} ∭_{В} Е_{о ты т}^{2} д т

$U=\frac{1}{2}\epsilon_o \underbrace{\iiint_V E_{in}^2 \, d\tau}_{0}+\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V E_{out}^2 \, d\tau$

U "=" \frac{1}{2} ϵ_{о} ∭_{В} Е_{о ты т}^{2} д т

$U=\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V E_{out}^2 \, d\tau$

"=" \frac{1}{2} ϵ_{о} ∭_{В} {(\frac{Вопрос}{4 π ϵ_{о} р^{2}})}^{2} 4 π р^{2} д р

$=\frac{1}{2}\epsilon_o \iiint_V \left(\frac{Q}{4\pi \epsilon_o r^2 }\right)^2 \, 4\pi r^2 \, dr$

"=" \frac{1}{2} ϵ_{о} {(\frac{Вопрос}{4 π ϵ_{о}})}^{2} \times 4 π \int_{р}^{\infty} \frac{1}{р^{2}} д р

$=\frac{1}{2}\epsilon_o\left(\frac{Q}{4\pi \epsilon_o }\right)^2 \times 4\pi \int_R^{\infty} \frac{1}{r^2}\, dr$

U "=" \frac{{Вопрос}^{2}}{8 π ϵ_{о} р}

$U=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_o R}$

Нахождение энергии, запасенной в сферической оболочке, но интеграл расходится

патрик7

Ответы (2)

скачко

патрик7

Бишал Саркар

Статическое электричество: высокое напряжение, но низкая энергия

Напряжение/заряд в отрицательно заряженном воздушном шаре

Изменение потенциальной электрической энергии после того, как сфера разделится на две части.

Почему смысл электрического поля тот, который идет от высших к низшим значениям электрического потенциала?

Является ли разность потенциалов разностью электрической потенциальной энергии или электрического потенциала?

Почему удобно определять нулевой электрический потенциал на бесконечности?

Возможность произвольного распределения заряда

Каков электрический потенциал внутри точечного заряда?

Напряженность электрического поля в зависимости от электрического потенциала

Изменение потенциальной энергии и его противоречивые признаки