Нахождение ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) для свободной частицы, начиная с профиля гауссовой волны ψ(x)ψ(x)\psi(x)

Ваш вопрос кажется довольно запутанным,

• Сначала вы спросите об эволюции волновой функции во времени. Для этого вам нужно будет использовать уравнение Шредингера$i \partial \psi/\partial t= \hat H \psi$и поэтому нужно будет знать гамильтониан ($\hat H$).
• Во-вторых, вы, кажется, хотите вычислить преобразование Фурье волновой функции. Это не даст вам волновую функцию как функцию времени, но даст вам волновую функцию в импульсном пространстве. Интеграл, который вы хотите вычислить, представляет собой преобразование Фурье гауссиана, который сам является гауссианом: $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2/2}e^{-i k x} \, dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2/2}\left(\cos{kx} - i \sin{kx} \right) \, dx .$$ Второй член в приведенном выше интеграле нечетный, поэтому даст ноль. Первый член является известным интегралом и дает $$=\sqrt{\frac{2\pi}{a}} e^{-k^2/2 a} ,$$ Гауссова, как и было обещано, с шириной, обратно пропорциональной оригиналу.

Я почти уверен, что Maple также должен быть в состоянии вычислить интеграл для вас, как он написан в моей первой строке (Mathematica может), поэтому я полагаю, что вы просто вводите его неправильно.

Изменить: извинения за первый комментарий выше. Я не видел, чтобы вы написали, что это было для свободной частицы, так что вы действительно знаете гамильтониан, потенциал равен$V(x,t)=0$, и поэтому из уравнения Шредингера мы знаем, что временная эволюция собственных состояний энергии равна$\psi(x,t)=e^{-i \omega t}\psi(x)$. Для свободной частицы имеем$\omega=k^2/2m$и поэтому вы знаете временную эволюцию преобразования Фурье.

Таким образом, взяв приведенное выше преобразование Фурье, применив эволюцию во времени и вернувшись обратно в пространственное положение, мы имеем

$$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-k^2/2 a}e^{-i\omega t}e^{ikx} \, dk \\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{k^2}{2 a}(1+iat/m)}e^{ikx}\, dk \\ \sim e^{\frac12 \frac{x^2}{1/a+imt}}$$ как отметил #Рон в своем комментарии. Это показывает, как волновой пакет распространяется со временем.