Уравнение Шредингера в импульсном пространстве в обозначениях Дирака

Question

Уравнение Шредингера в импульсном пространстве в обозначениях Дирака

Арнаб

Я пытаюсь согласовать два разных способа получения уравнения Шредингера в импульсном пространстве, начиная с уравнения Шредингера в абстрактной записи. Уравнение Шредингера, зависящее от времени, конечно, гласит:

я ℏ \frac{г}{г т} | ψ (т) ⟩ "=" \hat{ЧАС} | ψ (т) ⟩ "=" (\frac{{\hat{п}}^{2}}{2 м} + В (\hat{Икс})) | ψ (т) ⟩

$i\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{|\psi(t)\rangle}=\hat H{|\psi(t)\rangle}=(\frac{\hat P^2}{2m}+ V(\hat X)){|\psi(t)\rangle}$

Основная техника проецирования его на импульсное пространство заключается в следующем:

я ℏ \frac{г}{г т} ⟨ п | ψ (т) ⟩ "=" ⟨ п | (\frac{{\hat{п}}^{2}}{2 м} + В (\hat{Икс})) | ψ (т) ⟩ "=" \frac{п^{2}}{2 м} ⟨ п | ψ (т) ⟩ + ⟨ п | В (\hat{Икс}) | ψ (т) ⟩

$i\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}{\langle p|\psi(t)\rangle}=\langle p|(\frac{\hat P^2}{2m}+ V(\hat X)){|\psi(t)\rangle} =\frac{ p^2}{2m}\langle p|\psi(t)\rangle+\langle p| V(\hat X){|\psi(t)\rangle}$ где мы использовали тот факт, что континуум собственных базисных векторов

\hat{P}

$\hat P$ помечены их соответствующие собственные значения

p

$p$ удовлетворяющий:

\hat{P} | p ⟩ = p | p ⟩

$\hat P | p\rangle= p| p\rangle$ а теперь используя определение

⟨ p | ψ (t) ⟩ =: \tilde{ψ} (p, t)

$\langle p| \psi(t)\rangle=: \widetilde{\psi}(p,t)$ мы можем написать приведенное выше уравнение:

\begin{matrix} (ПСЭ) & я ℏ \frac{г}{г т} \tilde{ψ} (п, т) "=" \frac{п^{2}}{2 м} \tilde{ψ} (п, т) + ⟨ п | В (\hat{Икс}) | ψ (т) ⟩ \end{matrix}

$\begin{equation} i\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\widetilde{\psi}(p,t)=\frac{p^2}{2m}\widetilde{\psi}(p,t)+\langle p| V(\hat x){|\psi(t)\rangle}\end{equation}\tag{P.S.E.}\label{P.S.E.}$ Теперь наступает сложная часть работы с

⟨ p | V (\hat{X}) | ψ (t) ⟩

$\langle p|V(\hat X){|\psi(t)\rangle}$ срок.

Строгий способ его оценки состоит в том, чтобы сначала вставить оператор тождества в базис импульса, чтобы получить:
$⟨ п | В (\hat{Икс}) | ψ (т) ⟩ "=" \int г п^{'} ⟨ п | В (\hat{Икс}) | п^{'} ⟩ ⟨ п^{'} | ψ (т) ⟩ "=" \int г п^{'} ⟨ п | В (\hat{Икс}) | п^{'} ⟩ \tilde{ψ} (п^{'}, т)$ $\langle p|V(\hat X){|\psi(t)\rangle}= \int dp'\langle p|V(\hat X)|p'\rangle\langle p'{|\psi(t)\rangle}=\int dp'\langle p|V(\hat X)|p'\rangle \widetilde{\psi}(p',t)$ Теперь мы можем дважды вставить оператор тождества в базис позиции, чтобы оценить $\langle p|V(\hat X)|p'\rangle=\widetilde{V}(p-p')$ где $\widetilde{V}(p)$ является преобразованием Фурье $V(x)$ относительно $p$ . Собирая все вместе, уравнение Шредингера в импульсном базисе выглядит так: $\begin{matrix} (1) & я ℏ \frac{г}{г т} \tilde{ψ} (п, т) "=" \frac{п^{2}}{2 м} \tilde{ψ} (п, т) + \tilde{В} (п) * \tilde{ψ} (п, т) \end{matrix}$ $\begin{equation} i\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\widetilde{\psi}(p,t)=\frac{ p^2}{2m}\widetilde{\psi}(p,t)+\widetilde{V}(p) *\end{equation}\widetilde{\psi}(p,t)\tag{1}\label{1}$ где $*$ знак подразумевает свертку.
Как видно из приведенного выше, уравнение $\ref{1}$ беспорядочно и трудно иметь дело с любым практическим расчетом. С другой стороны, мы знаем, что оператор $\hat X$ представлен $i\hbar\frac{\partial }{\partial p}$ в импульсном базисе (в абстрактных обозначениях: $\langle p|\hat X|\psi(t)\rangle = i\hbar\frac{d}{dp}\langle p|\psi(t)\rangle$ ). Имея это в виду, можно ли использовать это для записи уравнения Шрёдингера в импульсном пространстве? $\ref{P.S.E.}$ как
$\begin{matrix} (2) & я ℏ \frac{г}{г т} \tilde{ψ} (п, т) "=" \frac{п^{2}}{2 м} \tilde{ψ} (п, т) + В (я ℏ \frac{г}{г п}) \tilde{ψ} (п, т) \end{matrix}$ $\begin{equation} i\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\widetilde{\psi}(p,t)=\frac{ p^2}{2m}\widetilde{\psi}(p,t)+V(i\hbar\frac{d}{dp})\widetilde{\psi} (p,t)\end{equation}\tag{2}\label{2}$ где я только что заменил $\hat X$ оператор с $i\hbar\frac{\partial }{\partial p}$ ?

Я спрашиваю об этом именно потому, что именно такой аргумент используется, чтобы сказать, что SE точно такой же в основе положения и импульса, когда мы рассматриваем простую проблему гармонического осциллятора (где $x$ и $p$ находятся в равном положении в гамильтониане).

Если ответ на мой вопрос да (это мое предположение, поскольку почти всегда можно расширить $V(x)$ в силовом ряду $x$ а затем заменить $x$ с $i\hbar\frac{\partial }{\partial p}$ везде), то какой смысл проходить всю эту галиматью, которую я описываю в 1? Если вообще нет, то есть ли конкретные случаи (где функциональная зависимость потенциала полиномиальна?), когда можно применить этот прием и почему?

Приносим извинения за длинный вопрос и приветствуем любую помощь.

Ответы (2)

Уравнение Шредингера в импульсном пространстве в обозначениях Дирака

Андрей · Answer 1

Я бы интерпретировал 1 (плюс несколько дополнительных шагов и предположение о $V$ ) как производное от 2.

В частности

\begin{array}{rcl} ⟨ п | В (\hat{Икс}) | ψ (т) ⟩ & "=" & \int г Икс \int г п^{'} ⟨ п | Икс ⟩ ⟨ Икс | В (\hat{Икс}) | п^{'} ⟩ ⟨ п^{'} | ψ (т) ⟩ \\ "=" & \int г Икс \int г п^{'} е^{я п Икс} В (Икс) е^{- я п^{'} Икс} ⟨ п^{'} | ψ (т) ⟩ \\ "=" & \int г Икс \int г п^{'} е^{- я п^{'} Икс} В (- я \frac{\partial}{\partial п}) е^{я п Икс} ⟨ п^{'} | ψ (т) ⟩ \\ "=" & В (- я \frac{\partial}{\partial п}) \int г Икс \int г п^{'} е^{я Икс (п - п^{'})} ⟨ п^{'} | ψ (т) ⟩ \\ "=" & В (- я \frac{\partial}{\partial п}) \int г п^{'} дельта (п - п^{'}) ⟨ п^{'} | ψ (т) ⟩ \\ "=" & В (- я \frac{\partial}{\partial п}) ⟨ п | ψ (т) ⟩ \\ "=" & В (- я \frac{\partial}{\partial п}) \tilde{ψ} (п, т) \end{array}

$\begin{eqnarray} \langle p | V(\hat{X}) | \psi(t) \rangle &=& \int {\rm d} x \int {\rm d} p' \langle p | x \rangle \langle x | V(\hat{X}) | p' \rangle \langle p'| \psi(t) \rangle \\ &=& \int {\rm d} x \int {\rm d} p' e^{i p x} V(x) e^{-ip'x} \langle p' | \psi(t) \rangle \\ &=& \int {\rm d} x \int {\rm d} p' e^{-ip'x} V\left(-i\frac{\partial}{\partial p}\right)e^{i p x} \langle p' | \psi(t) \rangle \\ &=& V\left(-i\frac{\partial}{\partial p}\right) \int {\rm d} x \int {\rm d} p' e^{i x(p-p')} \langle p' | \psi(t) \rangle \\ &=& V\left(-i\frac{\partial}{\partial p}\right) \int {\rm d} p' \delta(p-p')\langle p' | \psi(t) \rangle \\ &=& V\left(-i\frac{\partial}{\partial p}\right) \langle p | \psi(t) \rangle \\ &=& V\left(-i\frac{\partial}{\partial p}\right) \tilde{\psi}(p,t) \end{eqnarray}$

Чтобы перейти от строки 2 к строке 3, я предполагал, что Тейлор сможет расширить $V(x)$ , и замените каждый термин, как $x^n e^{i p x}$ с $(-i \partial_p)^n e^{i px}$ . Затем, чтобы перейти от строки 3 к строке 4, я потянул $V(-i \partial_p)$ вне интеграла. Я думаю, что все остальное просто, но я рад добавить дополнительные пояснения, если это необходимо.

Да, как я уже упоминал в своем вопросе, я ожидаю, что это произойдет, как только вы сможете расширить V (x) в степенном ряду x. Если я всегда могу это сделать, метод 1 кажется бесполезным. Может быть, есть нетривиальные примеры, когда становится необходимым начать с 1?
Откуда вы знаете, что можете использовать метод 2 без этого аргумента?
Также на шаге 3 x следует заменить на $i\hbar \partial_p$ без отрицательного знака.
То, что я написал, прекрасно, так как $-i \partial_p e^{ipx}=x$ (я устанавливаю $\hbar=1$ ).
Я не спорю, что метод 2 проще в использовании, чем метод 1, но метод 1 является более фундаментальным, поскольку он всегда работает и может быть использован для получения метода 2. Возможно, вы могли бы догадаться, что метод 2 разумен, но метод 1 — это то, как вы доказать, что это работает, исходя из более базовых принципов квантовой механики.
Итак, глядя на элементы матрицы: $\langle p | V(\hat{X}) | \psi(t) \rangle = \langle p |$ \сумма а_n\шляпа X^n $| \psi(t) \rangle$ а теперь используя соотношение $⟨ п | \hat{Икс} \equiv я ℏ . \frac{\partial}{\partial п} ⟨ п |$ $\langle p | \hat{X}\equiv i\hbar. \frac{\partial }{\partial p}\langle p|$ , я могу просто добраться до 2.
Это просто абстрактный способ написания $\langle p | \hat{X}|\psi\rangle= i\hbar. \frac{\partial }{\partial p}\langle p|\psi\rangle$
Да. Но как узнать, что соотношение верно, исходя из аксиом квантовой механики? Ответ заключается в том, что вы проходите через аргумент, подобный тому, что был в моем ответе.
О, я понимаю, что вы имеете в виду. Что ж, в конечном итоге это происходит из фундаментального коммутационного соотношения между x и p, которое вы также неявно использовали в своем выводе для 2. В любом случае, спасибо, что нашли время ответить на мой вопрос. Ценить это!
Другими словами, определение $X$ оператор это что $X|x\rangle=x|x\rangle$ . Чтобы доказать, как $X$ действует на $|p\rangle$ состояния, стандартный метод вставки полного набора $p$ состояния и использование $\langle x | p \rangle =e^{ipx}$ . Это то, что делает метод 1. Метод 2 дает вам ответ о том, как $X$ действует на $p$ утверждает, но это не очевидно из его определения и не является доказательством.
Да, согласен, фундаментальная связь $[x,p]=i\hbar$ .
@ArnabAdhikary Причина, по которой полезно знать Метод 1, хотя я согласен, что он излишен для решения одномерных задач, связанных с положением и импульсом, заключается в том, что он всегда работает. В более сложных системах, где коммутационные отношения между операторами более интересны, вы всегда можете использовать метод 1, чтобы выяснить, что происходит, тогда как метод 2 специфичен для операторов положения-импульса.
Я согласен. Причина, по которой я задал этот вопрос, заключалась в замечании одного из моих профессоров о том, что SE настолько сложен в импульсном пространстве, потому что вам нужно выполнять преобразования Фурье и свертки. Я не думаю, что это причина. Более фундаментальная причина, по-видимому, заключается в том, что V может быть очень сложной функцией, и с ней легче иметь дело в пространстве позиций (где это просто оператор умножения), а не в импульсном пространстве (где это уродливый дифференциальный оператор).
Ах я вижу. Ну, одна из причин, по которой это оказалось простым, заключается в том, что есть одна частица и один оператор импульса. Когда вы добираетесь до многочастичных систем, оказывается, что вы не можете выразить взаимодействие как локальный дифференциальный оператор в импульсном пространстве. С другой стороны, несмотря на то, что потенциал может быть очень сложным, существуют приближенные и численные методы для работы с ним. Так что я согласен с вами обоими, хотя я согласен с тем, что для задач КМ с одной частицей вы действительно можете выполнять свертки и получать локальный оператор в импульсном пространстве.

лпз · Answer 2

Я хотел бы завершить ответ @Andew. Метод 1 является более общим, и поэтому метод 2 лучше всего рассматривать как следствие первого. Это можно увидеть, применив многократное интегрирование по частям к интегралу продукта свертки. В общем, из $V = x^n$ , ты делаешь вывод $\tilde V = 2\pi i^n\delta^{(n)}(p)$ , так

\tilde{В} * \tilde{ψ} "=" (2 π я^{н} {дельта}^{(н)} (п)) * \tilde{ψ} "=" (2 π дельта (п)) * ((- я)^{н} {\tilde{ψ}}^{(н)}) "=" (- я)^{н} {\tilde{ψ}}^{(н)}

$\tilde V*\tilde \psi = (2\pi i^n\delta^{(n)}(p))*\tilde \psi \\ =(2\pi\delta(p))*((-i)^n\tilde \psi^{(n)}) \\ =(-i)^n\tilde \psi^{(n)}$ используя меру

\frac{d p}{2 π}

$\frac{dp}{2\pi}$ в интегрировании как всегда, а второй шаг использует интегрирование по частям.

Метод 2 более полезен для полного аналитического разрешения. Например, возьмем частицу в однородном силовом поле:

ЧАС "=" \frac{п^{2}}{2 м} - Ф Икс

$H = \frac{p^2}{2m}-Fx$ в импульсном пространстве это становится:

\frac{п^{2}}{2 м} \tilde{ψ} - Ф я ℏ {\tilde{ψ}}^{'} "=" Е \tilde{ψ}

$\frac{p^2}{2m}\tilde\psi-Fi\hbar\tilde \psi' = E\tilde\psi$ которые вы можете легко решить:

\tilde{ψ} "=" С опыт (\frac{1}{Ф я ℏ} (\frac{п^{3}}{6 м} - Е п))

$\tilde \psi = C\exp\left(\frac{1}{Fi\hbar}\left(\frac{p^3}{6m}-Ep\right)\right)$ и преобразовав Фурье обратно в пространство позиций, вы получите интегральное представление функции Эйри.

Метод 1 обычно используется в пертурбативных разложениях. Посмотрите, например, на дополнение Born. Как правило, при записи диаграмм Фейнмана вы интегрируете внутренние линии импульса потому, что вычисляете продукт свертки. Кроме того, математически метод 1 имеет более приятные свойства, например, когда вы преобразуете ОДУ в интегральное уравнение, к которому вы можете применять теоремы о фиксированной точке и т. Д. Поэтому для доказательства общих математических результатов он будет лучшей отправной точкой.

Надеюсь, это поможет, и скажите мне, если что-то не ясно.

Уравнение Шредингера в импульсном пространстве в обозначениях Дирака

Арнаб

Ответы (2)

Андрей

Арнаб

Андрей

Арнаб

Андрей

Андрей

Арнаб

Андрей

Арнаб

Андрей

Арнаб

Андрей

Андрей

Андрей

Арнаб

Андрей

лпз

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Полнота собственных функций энергии

Гильбертово пространство в представлении Дирака

Нахождение ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) для свободной частицы, начиная с профиля гауссовой волны ψ(x)ψ(x)\psi(x)

Нормализация волновой функции свободной частицы

Общая волновая функция и уравнение Шрёдингера