Решение уравнения Шредингера для свободной частицы с преобразованиями Фурье

Таким образом, дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

я ℏ ∂ ψ ∂ т "=" − ℏ 2 2 м Δ ψ

где ℏ , м > 0 , ψ ( т , Икс ) е С , т > 0 , Икс е р 3 и

ψ ( 0 , Икс ) "=" опыт ⁡ ( − | Икс | 2 ) .

Я думаю, что это можно элегантно решить с помощью пространственного преобразования Фурье. Я знаю это:

∂ ψ ∂ т ^ "=" ∂ ψ ^ ∂ т ,

но как мне рассчитать

Δ ψ ^

а затем использовать его для решения PDE?

Ответы (1)

Вы не должны делать Фурье во временной координате только в координатах положения (т.е. xyz). И вы знаете, по простым расчетам, что Δ ψ ^ просто − к 2 ψ ( т , к → ) где к → равно (x, y, z) после преобразования Фурье. И, подставив это в уравнение, вы получите простую оду для ψ ^ ( т , к → ) потому что ∂ ψ ∂ т ^ "=" ∂ ψ ^ ∂ т , когда вы преобразуете координаты положения, как вы сказали.

Спасибо. Не могли бы вы пояснить, как рассчитать Δ ψ ^ ?
Просто подключите преобразование Фурье df/dx и получите -ik ф ^ а остальные координаты совпадают. Чтобы получить лапсиан, просто дважды примените производную, чтобы получить ( − я к ) 2 "=" к 2 .
Кроме того, после того, как вы подключите df/dx, выполните интегрирование по частям, чтобы получить то, что я сказал.
Решение уравнения Шредингера для свободной частицы с преобразованиями Фурье
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v