Намагниченная сфера

Я пытаюсь решить магнитостатическую проблему намагниченной сферы, используя расширение$\frac{1}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}$в терминах многочленов Леграндра. Для простоты я предполагаю$\textbf{M}\left(\textbf{r}\right)=M_{S}\hat{z}$внутри сферы и$0$снаружи или в сферических координатах

$$\begin{equation} \left(\begin{array}{c} M_{r}\\ M_{\theta}\\ M_{\phi} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} M_{x}\\ M_{y}\\ M_{z} \end{array}\right)\rightarrow\begin{array}{c} M_{r}=M_{S}\cos\theta\\ M_{\theta}=-M_{S}\sin\theta \end{array} \end{equation}$$ Количество$\nabla_{\textbf{r}}\cdot\textbf{M}\left(\textbf{r}\right)$будет отличной от нуля только на поверхности магнитного материала. Точнее, у нас есть

$$\begin{align} \nabla_{\textbf{r}}\cdot\textbf{M}\left(\textbf{r}\right) & =\hat{r}\cdot\hat{r}\frac{\partial M_{r}\left(\textbf{r}\right)}{\partial r}\nonumber \\ & =-M_{S}\cos\theta\delta\left(r-R\right) \end{align}$$ Это дает выражение для магнитного поля

$$\begin{align} \textbf{H}\left(\textbf{r}\right) & =\nabla_{\textbf{r}}\int_{V_{\infty}}d\textbf{r}'\frac{1}{4\pi\left|\textbf{r}-\textbf{r}'\right|}\left[-M_{S}\cos\theta'\delta\left(r'-R\right)\right] \end{align}$$ Теперь идея использовать $$\begin{align} \frac{1}{\left|\textbf{r}-\textbf{r}'\right|} & =\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}P_{l}\left(\cos\theta\right)\\ \nonumber \\ r_{<} & =\begin{cases} r & r<r'\\ r' & r\geq r' \end{cases}\qquad r_{>}=\begin{cases} r' & r<r'\\ r & r\geq r' \end{cases} \end{align}$$ где$P_{l}\left(\cos\theta\right)$– полиномы Лежандра порядка$l=0,1,2,3$, и$\theta$это угол между$\textbf{r}$и$\textbf{r}'$. Мы можем переписать это как

$$\begin{align} \frac{1}{\left|\textbf{r}-\textbf{r}'\right|} & =\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r^{l}}{\left(r'\right)^{l+1}}P_{l}\left(\cos\theta\right)\qquad r<r'\\ \nonumber \\ \frac{1}{\left|\textbf{r}-\textbf{r}'\right|} & =\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\left(r'\right)^{l}}{r^{l+1}}P_{l}\left(\cos\theta\right)\qquad r>r'\\ \nonumber \end{align}$$ Для решения интеграла полагаем$\textbf{r}\parallel\hat{z}$, так что у нас есть$\theta=\theta'$

$$\begin{align} \textbf{H}_{dem}\left(z\right) & =-\frac{M_{S}}{4\pi}\nabla_{\textbf{r}}\sum_{l=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}r'^{2}dr'\int_{0}^{\pi}\sin\theta'd\theta'\int_{0}^{2\pi}d\phi'\frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}P_{l}\left(\cos\theta'\right)\cos\theta'\delta\left(r'-R\right)\nonumber \\ & =-\frac{M_{S}}{2}\nabla_{\textbf{r}}\sum_{l=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}r'^{2}dr'\frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}\delta\left(r'-R\right)\overset{=\frac{2}{2l+1}\delta_{l1}}{\overbrace{\int_{0}^{\pi}d\theta'\sin\theta'\cos\theta'P_{l}\left(\cos\theta'\right)}}\nonumber \\ & =-\frac{M_{S}}{3}\nabla_{\textbf{r}}\int_{0}^{\infty}r'^{2}dr'\frac{r_{<}}{r_{>}^{2}}\delta\left(r'-R\right) \end{align}$$ Для$r<R$, мы получаем $$\begin{align} \textbf{H}_{dem}\left(z\right) & =-\frac{M_{S}}{3}\nabla_{\textbf{r}}R^{2}\frac{z}{R^{2}}\nonumber \\ \textbf{H}_{dem}\left(\textbf{r}\right) & =-\frac{M_{S}}{3}\nabla_{\textbf{r}}r\cos\theta\nonumber \\ & =-\frac{M_{S}}{3}\left[\hat{r}\cos\theta-\hat{\theta}\sin\theta\right]\nonumber \\ & =-\frac{M_{S}}{3}\hat{z} \end{align}$$ что согласуется с ожидаемым результатом. С другой стороны, для$r>R$, мы получаем $$\begin{align*} \textbf{H}_{dem}\left(z\right) & =-\frac{M_{S}}{3}\nabla_{\textbf{r}}R^{2}\frac{R}{z^{2}}\\ & =-\frac{M_{S}}{3}R^{3}\nabla_{\textbf{r}}\frac{1}{r^{2}\cos^{2}\theta}\\ & \\ \\ \end{align*}$$ что не согласуется с правильным результатом. Любые комментарии, где я мог бы сделать что-то не так?

РЕДАКТИРОВАТЬ --

Предполагая, что у дивергенции намагниченности нет штриха, имеем

$$\begin{align} \textbf{H}_{dem}\left(\textbf{r}\right) & =-M_{S}{\nabla}_{\textbf{r}}\cos\theta\int_{V_{\infty}}d\textbf{r}'\frac{1}{4\pi\left|\textbf{r}-\textbf{r}'\right|}\delta\left(r'-R\right) \end{align}$$ и наконец

$$\begin{align} \textbf{H}_{dem}\left(\textbf{r}\right) &=-M_{S}R^{2}{\nabla}_{\textbf{r}}\cos\theta\int d\theta'd\phi'\frac{\sin\theta'}{4\pi\sqrt{\left|\textbf{r}\right|^{2}+R-2R\left|\textbf{r}\right|\cos\gamma}} \end{align}$$ где$\gamma$это угол между$\textbf{r}$и$\textbf{r}'$. Для$r>R$мы можем использовать $$\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{\left|\textbf{r}\right|^{2}+R^{2}-2R\left|\textbf{r}\right|\cos\gamma}} =\sum_{l=0}^{\infty}\frac{R^{l}}{r^{l+1}}P_{l}\left(\cos\gamma\right) \end{equation}$$ который дает $$\begin{align*} \textbf{H}_{dem}\left(\textbf{r}\right) & =-\frac{M_{S}}{4\pi}2\pi R^{2}\nabla_{\textbf{r}}\cos\theta\sum_{l=0}^{\infty}\frac{R^{l}}{r^{l+1}}\int_{0}^{\pi}d\theta'\sin\theta'P_{l}\left(\cos\gamma\right) \end{align*}$$ .

Как я должен исходить отсюда, чтобы получить выражение, которое вы показали? Сначала я должен сделать$\gamma$отображать в$\theta'$, хотя я не понимаю, как это должно давать что-то вроде

$$\begin{equation} \propto \sum_{l=0}^{\infty}\frac{R^{l}}{r^{l+1}}\overset{=\frac{2}{2l+1}\delta_{l1}}{\overbrace{\int_{0}^{\pi}d\theta'\sin\theta'\cos\theta'P_{l}\left(\cos\theta'\right)}} = \frac{2R}{3r^2} \end{equation}$$