Когда ∇×B=0∇×B=0\набла\раз B=0?

Закон Ампера говорит, что

$$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}$$

так что "вдали от источников" означает, что плотность тока$\boldsymbol{J}$можно принять равным нулю и что не существует переменных во времени электрических полей. Последнее на самом деле является общим приближением, которое часто можно сделать для относительно низкочастотных (включая установившиеся) явлений.

---

Что касается других вопросов, то это тождество здесь фактически неприменимо, потому что$\mathbf{m\cdot B}$не является скалярным произведением двух векторных полей . В частности, пространственные производные от$\mathbf{m}$не определены.

Вместо этого мы можем использовать нотацию индекса, чтобы получить фактическую идентичность, которую мы ищем. Обратите внимание, что

$$[\nabla(\mathbf{m\cdot B})]_i = \partial_i m_j B_j = m_j\partial_i B_j$$

Это не имеет очевидной векторной формы, но мы можем сделать следующее колдовство (которое, полное раскрытие, я сделал в обратном порядке):

$$m_j\partial_iB_j = (m_j\partial_iB_j - m_j\partial_jB_i) + m_j\partial_jB_i$$ $$= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) m_j \partial _l B_m + m_j\partial_j B_i$$ $$=\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} m_j\partial_lB_m + m_j\partial_j B_i$$ $$=\epsilon_{ijk} m_j (\epsilon_{klm}\partial_l B_m) + m_j \partial_j B_i$$ $$= [ \mathbf{m}\times (\nabla \times \mathbf{B}) + (\mathbf{m}\cdot \nabla)\mathbf{B}]_i$$ и так если$\mathbf{m}$и$\mathbf{B}$являются постоянным вектором и векторным полем соответственно, применимое векторное тождество равно

$$\nabla(\mathbf{m\cdot B}) = \mathbf{m} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + (\mathbf{m} \cdot \nabla)\mathbf{B}$$

Это, конечно, то, что мы получили бы, если бы лечили$\mathbf{m}$как пространственно постоянное векторное поле, так что можно было махнуть рукой и сказать, что$\nabla \mathbf{m}$и$\nabla \times \mathbf{m}$равны нулю. Однако вы должны помнить, что эти выражения формально не определены.

---

Наконец, я хочу уточнить, что не существует «коммутативного свойства скалярного произведения», когда речь идет об операторе дивергенции, потому что дивергенция не является скалярным произведением . Это выглядит только как один (и только в декартовых координатах), поэтому$div(\mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf B$не более чем полезный мнемонический прием.

В частности,$div(\mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{B}$является скалярным полем, которое оказывается равным$0$повсюду. С другой стороны,

$$\mathbf{B}\cdot \nabla = B_i\partial_i = B_x\frac{\partial}{\partial x} + B_y \frac{\partial}{\partial y} + B_z \frac{\partial}{\partial z}$$ сам по себе является дифференциальным оператором, который можно применить как к скалярным, так и к векторным полям:

$$(\mathbf{B}\cdot \nabla)f = \mathbf{B}\cdot (\nabla f)$$ или $$(\mathbf{B}\cdot \nabla)\mathbf{ A} = \big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_x)\big]\hat e_x + \big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_y)\big]\hat e_y+\big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_z)\big]\hat e_z$$