Сила и потенциальная энергия между двумя магнитными диполями

У меня вопрос по поводу двух магнитных диполей в виде коаксиальных токоведущих петель радиусом$r_0$дистанция$h_0 \gg r_0$отдельно. С использованием$h_0 \gg r_0$можно считать, что B-поле одной из петель однородно вдоль оси другой петли.

Для расчета силы, действующей на одну из петель, можно использовать$F = -\nabla U = -\frac{d}{dx}U$, и для$U$мы используем тот факт, что$m\cdot B = U$для магнитного момента$m = IA = I \pi r_0^2$.

Это дает правильный ответ$F=3\mu_0 \pi r_0^4 I^2 / 2h_0^4$, с использованием$B = \mu_0 I r_0^2 / 2(h_0^2 + r_0^2)^{\frac{3}{2}} \approx \mu_0 I r_0^2 / 2h_0^3$, но у меня есть некоторая путаница в понимании того, что на самом деле происходит в этом сценарии.

Интуитивно мы можем относиться к этим двум петлям как к магнитам в виде мини-стержней, и исходя из опыта, они должны отталкиваться или притягиваться друг к другу (в зависимости от относительного направления тока в каждой петле и т. д.). Это приводит к поступательной силе вдоль оси петель.

Однако выражение для$U$получается, если рассмотреть работу, совершаемую при вращении катушки против внешнего B-поля из перпендикулярной начальной точки:$U = -W = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta} \tau d\theta '$,$\tau = m \times B$для токовой петли в B-поле; интегрирование дает окончательный ответ. из$mB\cos \theta = m \cdot B$. В этом примере катушки расположены перпендикулярно оси, поэтому$\theta = 0$и$m\cdot B = mB$.

Таким образом, потенциальная энергия, из которой мы получаем поступательную силу, связана с вращением петель против B-поля, а не с поступательным разделением двух петель.

Кто-нибудь может объяснить, как/почему этот градиент потенциальной энергии приводит к поступательному движению вместо вращательного?

Пожалуйста, обратитесь за разъяснениями, если это будет необходимо.