Нарушается ли уравнение CV = q, когда V мало или провод очень длинный?

Когда вы задаете вопросы о вещах «в пределе», ответ почти всегда «это зависит». В этом случае ответ «это зависит».

Уравнение$Q=CV$предполагает линейное поведение конденсатора - на самом деле диэлектрик большинства конденсаторов имеет гистерезис, а также нелинейную составляющую, поэтому при увеличении напряжения емкость будет меняться. Этот эффект особенно силен (и полезен) в некоторых PIN-диодах, которые можно использовать при обратной поляризации в качестве конденсаторов, зависящих от напряжения (удобно, например, для электронной настройки радиочастотных цепей).

Уравнение также предполагает, что$Q$это только заряд на конденсаторе - нигде больше заряд не накапливается. Теперь емкость пары проводов 16 AWG, разделенных расстоянием в 1 см, составляет почти ровно 10 пФ/м — см. этот удобный калькулятор . Поэтому, если ваш конденсатор подключен к батарее достаточно длинным проводом, сам провод будет действовать как конденсатор, которым нельзя пренебречь. Опять же, на радиочастотах (особенно когда вы попадаете в диапазон ГГц) эти «паразиты» действительно начинают складываться и фактически доминируют в поведении цепей. Фактически они являются основой для линий электропередачи и определенно считаются важными для электротехники.

Вернемся к вашему первоначальному вопросу: если у вас есть батарея, подключенная к конденсатору с помощью пары проводов и переключателя, то мы обычно рассматриваем следующие упрощения:

1. Напряжение батареи одинаково до замыкания выключателя и после
2. Интересует только заряд на конденсаторе
3. Ток в цепи не течет, кроме как в момент замыкания ключа.

При достаточно высокой точности ни одно из этих предположений не верно. Возьмем их по одному:

1. Когда от батареи течет заряд, происходящая химическая реакция приводит к небольшому падению напряжения. В вашем примере вы использовали заряд 5 Кл, то есть 1 А в течение 5 с, что является немаловажным значением тока для батареи. Батарея на 120 В может состоять из 80 последовательно соединенных элементов по 1,5 В; если каждая ячейка упадет на 1 мВ из-за этой переходной нагрузки, напряжение батареи упадет на 80 мВ.

2. Как я показал выше, провода будут накапливать некоторый заряд; сколько заряда будет зависеть от геометрии. Если значение$Q$интерес представляет только заряд конденсатора (а не заряд батареи), эта разница не имеет значения, но это не было указано в вопросе.

3. Конденсатор имеет конечное сопротивление - заряд будет медленно стекать. Насколько быстро он истечет, зависит от многих факторов: в первую очередь от используемого диэлектрического материала и электрического поля на нем. Для изготовления конденсатора с высокой емкостью на единицу объема требуется очень тонкий диэлектрик и, следовательно, сильное поле и, возможно, большая утечка. Прецизионные конденсаторы, как правило, недорогие и громоздкие.

В вашем примере возможен заряд 5 Кл и напряжение 120 В при емкости $c=\frac{5}{120} F = 42 мФ. Это большой, но не слишком громоздкий. Я нашел один в Интернете с номиналом 40 мФ и 160 В; он был диаметром 76 мм и длиной 150 мм. Как я уже сказал - довольно большой. Я просмотрел техпаспорт этого семейства конденсаторов , но не смог найти никакой информации о токе утечки. Однако, поскольку это электролитический конденсатор, утечка будет довольно большой. Например, я нашел общую статью об утечке алюминиевых электролитических конденсаторов , которая включала следующий график, как на рисунке 3:

Как видите, в больших электролитических конденсаторах протекает значительный ток — это было для устройства 1 мФ, 35 В, поэтому вы можете себе представить, что для 44 мФ, 120 В будет немного хуже.

Эти различия часто гораздо важнее, чем падение напряжения батареи (о котором спрашивал ваш вопрос). Длинные провода плюс токи утечки могут , в принципе, привести к длительному падению напряжения на проводах. Но, как правило, инженеры-электрики будут осторожны при проектировании точных цепей (тех, где несколько мВ на 120 В могут иметь значение) с короткими проводами; и если вам нужны длинные участки с точным напряжением на конце, вы можете использовать локальное регулирование на дальнем конце или 3-х или 4-х проводное решение, которое позволяет определять на удаленном конце, чтобы источник напряжения мог компенсировать.

Батарейки - это не конденсаторы. Замыкание переключателя не приводит к перераспределению некоторого фиксированного количества заряда в цепи. Вместо этого батареи могут создавать новый заряд посредством химических реакций. Перераспределение слегка понизит потенциал, позволяя химической реакции продолжаться до тех пор, пока оно не вернется к напряжению покоя.

Хотя настоящие батареи не идеальны (выдаваемое ими напряжение непостоянно), такие эффекты обычно не моделируются для такого типа проблем. Разработчик просто должен был убедиться, что схема работает в диапазоне напряжений. Падение напряжения под током подавляет любые изменения напряжения при нулевом токе.

Во-первых, меня немного смущает ваше утверждение о двух батареях.

Емкость двустороннего конденсатора определяется как отношение величины разделенного заряда (обычно величины заряда на каждой пластине) к результирующей разности потенциалов (она же напряжение) между пластинами. Технически это формула «что, если». Фактическая емкость зависит от геометрического и материального расположения пластин.

Мы часто обращаемся к этому определению,$C=\frac{q}{V}$, в операционное уравнение, такое как$q=CV.$И это нормально, потому что, по крайней мере, до первого порядка (и, вероятно, до 2-го и 3-го порядка) в обычном конденсаторе емкость не зависит от напряжения вплоть до диэлектрической прочности материала промежутка. Каким бы ни было напряжение на конденсаторе, в рабочем состоянии$q=CV$где$V$это напряжение от одной пластины к другой.

То, как именно это относится к батарее в цепи, зависит от того, какие другие элементы находятся в цепи. В последовательной цепи с настоящей батареей и настоящими проводами с реальным сопротивлением напряжение на обкладках может быть немного меньше ЭДС батареи при зарядке конденсатора. Если конденсатор негерметичен, то ток будет продолжать течь, а напряжение постоянно будет немного меньше ЭДС .

Если мы поставим параллельно два конденсатора разной емкости, они будут накапливать разные заряды. Если мы поместим два конденсатора разной емкости последовательно друг с другом, они будут иметь разное напряжение, но одинаковый заряд.

Итог: напряжение в$q=CV$напряжение только на конденсаторе. Это может оказаться тем же значением, что и напряжение на другом компоненте, просто из-за способа подключения цепи. По мере того, как конденсатор заряжается после замыкания переключателя, его напряжение изменяется со скоростью, определяемой фактическим сопротивлением проводов и батареи. Если это сопротивление мало, зарядка происходит очень быстро.