Олимпиадный вопрос по физике о зарядном конденсаторе

Question

Олимпиадный вопрос по физике о зарядном конденсаторе

Ганс

Это задача 1463 из русского журнала Quant . К сожалению, мой русский не достаточно хорош, поэтому прошу прощения, если перевод задачи содержит ошибки.

Проблема. Внутри плоского зарядного конденсатора с расстоянием между пластинами $d$ слабопроводящая пластина толщиной $h<d$ и удельное сопротивление $\rho$ вставляется. Площадь пластин и плиты $S$ (как всегда предполагается $d\ll\sqrt{S}$ ). Конденсатор заряжается до потенциала $U_0$ . Затем пластины конденсатора замыкают накоротко. Найдите максимальный ток через пластину.

Ответить . $I_{max}=U_0 S/\rho h$

получаю совсем другой ответ $I_{max}=U_0 S/\rho d$ и думают, что их решение ошибочно.

Покажем, что их решение не имеет никакого смысла. В официальном решении рисуют картинку

где $C=\varepsilon_0S/(d-h)$ и $R=\rho h/S$ , утверждая, что она эквивалентна исходной системе. Потом говорят, что после короткого замыкания конденсатор $C$ (который первоначально был заряжен до напряжения $U_0$ ) будет разряжаться через сопротивление $R$ . Это означает, что это займет примерно время $RC$ чтобы конденсатор разрядился.

Вернемся к исходной системе. Мы вправе предположить, что $\rho\to\infty$ , $h\to 0$ , так что $R$ конечно. Технически это означает, что пластина представляет собой очень тонкий изолятор, помещенный внутрь конденсатора. Таким образом, когда конденсатор замыкается накоротко, заряды пластин мгновенно исчезают из-за всплеска тока при коротком замыкании. Это противоречит официальному решению, где требуется время $RC$ разрядить конденсатор.

Вопрос: Так какой из ответов правильный?

Мое решение заключается в следующем:

Заряды на гранях пластины не могут резко измениться, но заряды на обкладках конденсатора резко изменятся в результате короткого замыкания. Таким образом, слова «сразу после короткого замыкания» здесь означают, что мы рассматриваем систему, когда этот всплеск тока через провод, соединяющий пластины, быстро скорректировал заряды пластин.

Пусть заряды на пластинах и гранях плиты (сразу после короткого замыкания) равны $q_1,Q,-Q,q_2$ (см. рисунок). Затем вычисляем начальные заряды на поверхностях плиты $\pm Q$ , где

Вопрос "=" \frac{U_{0} ε_{0} С}{г - час} .

$Q=\frac{U_0\varepsilon_0 S}{d-h}.$ Затем рассчитать заряды на пластинах (сразу после короткого замыкания) так, чтобы падение напряжения между пластинами было

0

$0$ :

\frac{д_{1}}{2 ε_{0} С} г + \frac{Вопрос}{2 ε_{0} С} час - \frac{- Вопрос}{2 ε_{0} С} час - \frac{д_{2}}{2 ε_{0} С} г "=" 0,

$\frac{q_1}{2\varepsilon_0 S}d+\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}h-\frac{-Q}{2\varepsilon_0 S}h-\frac{q_2}{2\varepsilon_0 S}d=0,$ и электронейтральность соблюдается

д_{1} + д_{2} "=" 0.

$q_1+q_2=0.$ Таким образом

д_{1, 2} "=" \mp Вопрос \frac{час}{г} .

$q_{1,2}=\mp Q\frac{h}{d}.$ Затем вычисляем напряженность электрического поля внутри плиты,

Е "=" \frac{д_{1} + Вопрос + Вопрос - д_{2}}{2 ε_{0} С} "=" \frac{U_{0}}{г} .

$E=\frac{q_1+Q+Q-q_2}{2\varepsilon_0 S}=\frac{U_0}{d}.$ Таким образом, плотность тока

j = E / ρ

$j=E/\rho$ и текущий

I = j S = \frac{U_{0} S}{ρ d}

$I=jS=\frac{U_0 S}{\rho d}$ .

малиновый

@Hans Как вы пришли к выводу, что

q_{2, 1} = \pm Q \frac{h}{d}

$q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ ?

Ганс

@Crimson первое условие электронейтральности

q_{1} + q_{2} = 0

$q_1+q_2=0$ в сочетании с условием, что падение напряжения между пластинами

\frac{q_{1} d - q_{2} d + 2 Q h}{2 ε_{0} S}

$\frac{q_1d-q_2d+2Qh}{2\varepsilon_0 S}$ является

0

$0$ . Решая это уравнение, заключаем

q_{2, 1} = \pm Q \frac{h}{d}

$q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ .

малиновый

@ Ганс, я согласен с условием нейтралитета. Как вы пришли к этому выражению для падения напряжения между пластинами?

Ганс

@Crimson там 4 тарелки с зарядами,

q_{1}, + Q, - Q, q_{2}

$q_1,+Q,-Q,q_2$ . Я просто вычисляю электрическое поле, используя хорошо известную формулу

\frac{σ}{2 ε_{0}}

$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , где

σ = Q / S

$\sigma=Q/S$ плотность поверхностного заряда. Затем я суммирую соответствующие падения напряжения между пластинами конденсатора, образованные этими зарядами.

малиновый

@ Ганс, а, понятно. Проблема заключается, во-первых, в предположении, что это падение напряжения должно быть равно нулю, а во-вторых, что падение напряжения на резисторе равно нулю. Перед отключением питания падение напряжения должно быть

U_{0}

$U_0$ . Тогда при замыкании заряды остаются прежними. Изменяется падение напряжения на резисторе, в результате чего общее напряжение становится равным нулю.

Ганс

@Crimson «Проблема заключается, во-первых, в предположении, что это падение напряжения должно быть равно нулю», это не предположение, это факт, потому что согласно постановке задачи пластины замыкаются накоротко. Поэтому падение напряжения должно быть

0

$0$ . Может картинка поможет?

малиновый

Продолжим обсуждение в чате .

Ганс

@Qmechanic, почему вопрос защищен? Кроме того, почему его так сильно минусуют без каких-либо объяснений?

Qмеханик

Привет Ганс. Добро пожаловать в Phys.SE. 1. Программное обеспечение SE не позволяет пользователям (даже доверенным пользователям) видеть, кто за что проголосовал. 2. Что касается защиты, см. этот метапост.

Ответы (3)

Олимпиадный вопрос по физике о зарядном конденсаторе

@Hans Как вы пришли к выводу, что $q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ ?
@Crimson первое условие электронейтральности $q_1+q_2=0$ в сочетании с условием, что падение напряжения между пластинами $\frac{q_1d-q_2d+2Qh}{2\varepsilon_0 S}$ является $0$ . Решая это уравнение, заключаем $q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ .
@ Ганс, я согласен с условием нейтралитета. Как вы пришли к этому выражению для падения напряжения между пластинами?
@Crimson там 4 тарелки с зарядами, $q_1,+Q,-Q,q_2$ . Я просто вычисляю электрическое поле, используя хорошо известную формулу $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , где $\sigma=Q/S$ плотность поверхностного заряда. Затем я суммирую соответствующие падения напряжения между пластинами конденсатора, образованные этими зарядами.
@ Ганс, а, понятно. Проблема заключается, во-первых, в предположении, что это падение напряжения должно быть равно нулю, а во-вторых, что падение напряжения на резисторе равно нулю. Перед отключением питания падение напряжения должно быть $U_0$ . Тогда при замыкании заряды остаются прежними. Изменяется падение напряжения на резисторе, в результате чего общее напряжение становится равным нулю.
@Crimson «Проблема заключается, во-первых, в предположении, что это падение напряжения должно быть равно нулю», это не предположение, это факт, потому что согласно постановке задачи пластины замыкаются накоротко. Поэтому падение напряжения должно быть $0$ . Может картинка поможет?
@Qmechanic, почему вопрос защищен? Кроме того, почему его так сильно минусуют без каких-либо объяснений?
Привет Ганс. Добро пожаловать в Phys.SE. 1. Программное обеспечение SE не позволяет пользователям (даже доверенным пользователям) видеть, кто за что проголосовал. 2. Что касается защиты, см. этот метапост.

малиновый · Answer 1

Немного подумав, вот новый ответ:

Ответ из книги неверный. Ваш вывод правильный.

Вероятно, они допустили ту же ошибку, что и я в своем другом ответе, который я теперь считаю неверным. Моя ошибка в том, что я проигнорировал емкость резистора.

Я подумал, что будет проще представить систему в виде двух конденсаторов с резистором между ними. Однако это только усложняет ситуацию. Таким образом, легче следовать вашему выводу, используя закон Гаусса. Тем не менее, в этом ответе я покажу, что даже если вы считаете, что система состоит из двух конденсаторов с резистором между ними, полученный вами ответ отличается от ответа в книге.

Когда на резистор подается напряжение, на границе между выводами и резистором возникает небольшой поверхностный заряд. Этот поверхностный заряд определяется выражением:

р "=" \frac{ϵ_{0} U С}{л},

$\rho=\frac{\epsilon_0 U S}{L},$

с $L$ длина резистора. Это заставляет резистор действовать как небольшой конденсатор. Эта паразитная емкость и соответствующий заряд обычно очень малы для обычных резисторов. Однако в данном конкретном случае резистор, образованный пластиной, имеет форму с $\sqrt{S}>>L$ . Это приводит к тому, что резистор имеет большую емкость. Таким образом, пластину следует представить в виде идеального резистора с емкостью, расположенной параллельно ему.

Таким образом, наша общая система состоит из двух конденсаторов, образованных зазорами между пластиной и пластиной, одного идеального резистора между ними и параллельной этому резистору емкости пластины.

Когда вся система будет заряжена, будет взиматься плата

\pm д_{г а п} "=" \pm \frac{ϵ_{0} U_{0} С}{г - час}

$\pm q_{gap}=\pm \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d-h}$

по обе стороны от зазора конденсаторов. Паразитный конденсатор останется незаряженным. После замыкания проводов первоначально на некоторых проводах будет падение напряжения. Так как наши провода идеальны, то это будет компенсировано зарядкой паразитной емкости и небольшим разрядом емкостей промежутка. Это происходит мгновенно, и ток через резистор не течет. Этот процесс прекращается, когда перестает быть падение напряжения на проводах, т. е. когда напряжение на паразитной емкости совпадет с напряжением полного падения напряжения на емкостях промежутка.

В этот момент емкость зазора будет иметь заряд

\pm д_{г а п}^{'} "=" \frac{ϵ_{0} U_{0} С}{г - час} \frac{час}{г}

$\pm q'_{gap} = \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d-h}\frac{h}{d}$

в то время как парацитарный конденсатор имеет заряды.

\pm д_{п а р а}^{'} "=" \pm \frac{ϵ_{0} U_{0} С}{г - час} (1 - \frac{час}{г}) "=" \pm \frac{ϵ_{0} U_{0} С}{г}

$\pm q'_{para} = \pm \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d-h}\left(1-\frac{h}{d}\right)=\pm \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d}$

Обратите внимание, что в действительности поверхность пластины действует как пластина конденсатора как для емкости зазора, так и для паразитной емкости. Суммарный заряд на этой поверхности не меняется при начальном переносе заряда.

Напряжение на паразитной емкости равно напряжению на резисторе и определяется выражением:

U_{р} "=" U_{0} \frac{час}{г}

$U_R = U_0\frac{h}{d}$

это ведет к

я_{м а Икс} "=" \frac{U_{р}}{р} "=" U_{0} \frac{С}{р г}

$I_{max}=\frac{U_R}{R} = U_0 \frac{S}{\rho d}$

Это тот же ответ, который вы нашли, используя закон Гаусса, который в данном случае намного проще. Таким образом, ответ в книге неверен.

Лио Эльбаммальф · Answer 2

Расстояние протекания тока должно находиться в пределах материала, содержащего электроны, которые вы хотите переместить. Вы не получите ток без электронов *

Я вижу вашу линию рассуждений, но давайте немного разберем ее и покажем, где вы ошибаетесь.

Суть вашей проблемы заключается в том, что вы думаете о бесплатном заряде между конденсаторами (я полагаю), что это общий набор проблем. В этом случае у вас были бы электроны, чтобы двигаться на всем протяжении расстояния $d$ . Однако в этом случае ваши электроны ограничены вашей твердой плитой, $S$ . Ваш ток может исходить только от этих электронов.

Ваше уравнение:

я_{м а Икс} "=" U_{0} \frac{С}{р час}

$I_{max} =U_{0}\frac{S}{\rho h}$ Описывает ток от объема электронов с площадью поверхности S и глубиной h.

Если вы не знаете предыстории, ваше уравнение представляет собой перестановку стандартного $V=IR$ , с удельным сопротивлением, определяемым как $\rho = R \frac{A}{l}$ где $A$ площадь, перпендикулярная текущему потоку и $l$ это расстояние, которое он должен пройти. Переставляя мы получаем ваш $I=\frac{V}{R}=V\frac{A}{\rho l}$ . С $l$ является свойством материала, в котором текут ваши электроны, оно фиксируется как длина в пределах вашей плиты, то есть расстояние $h$ .

Чувствую, что я, возможно, трудился там, но, надеюсь, это дошло.

*Или другие заряженные частицы.

Мое решение выглядит следующим образом. После короткого замыкания пластин я рассчитал заряды пластин и заряды на гранях пластины. $\frac{U_0\varepsilon_0 S}{d-h}$ , так что падение напряжения между пластинами равно $0$ , и получили, что максимальная напряженность поля внутри плиты равна $E=\frac{U_0}{d}$ независимо от $h$ . Мой ответ исходит не из предположения, что электроны преодолевают расстояние $d$ .
Однако по неизвестной причине они и вы предполагаете, что после короткого замыкания все падение напряжения $U_0$ происходит по граням плиты. Не могли бы вы объяснить, как вы это получили?
И что такое $V$ в вашем ответе? Это падение напряжения между гранями плиты и как в этом случае его рассчитать?
Пожалуйста, внимательно прочитайте редактирование и весь вопрос. Нет никаких предположений, выделенных жирным шрифтом в вашем ответе.
@Hans V будет падением напряжения, если предположить, что система запускается без разности потенциалов. Так $U_{0}$ между двумя сторонами плиты. Я прочитал ваше решение, но не уверен, как вы пришли ко всем своим решениям уравнений. Возможно, если бы вы могли предоставить пошаговую разницу.
Решение улучшено, показаны все шаги. Это также показывает, что официальное решение неверно. Не будет падения напряжения $U_0$ через плиту после короткого замыкания.

малиновый · Answer 3

Ответ из книги правильный.

Вы можете считать, что система состоит из двух конденсаторов (два зазора между плитой и пластинами) с резистором между ними.

При подключении источника напряжения оба конденсатора будут заряжаться до тех пор, пока сумма напряжений на конденсаторах не сравняется с напряжением источника.

Когда источник удален, а выводы закорочены, мы получаем ситуацию двух последовательно заряженных конденсаторов, включенных последовательно с резистором. Конденсаторы будут разряжаться через резистор.

Начальное напряжение на резисторе будет суммой напряжений на конденсаторах. Эта сумма будет $U_0$ . Таким образом, начальный ток будет.

я (0) "=" \frac{U_{0}}{р} "=" \frac{U_{0} С}{р час}

$I(0)=\frac{U_0}{R}=\frac{U_0 S}{\rho h}$

Обратите внимание, что ток через оба конденсатора одинаков. Поэтому накопление заряда идентично для обоих. Поэтому, если мы начнем с нейтральной системы с незаряженными конденсаторами, у нас всегда будет $|q_1| = |q_2| = |Q_1| = |Q_2|$ .

Редактировать

Теперь я считаю этот ответ неверным.

Я действительно не понимаю вашего решения. Очень часто такие решения содержат ошибки, потому что вы предполагаете, что что-то должно быть правдой. Но «микроскопическое» решение показывает, что предположение неверно. Так ли это здесь?
Не игнорирует ли это решение тот факт, что на гранях плиты есть заряды?
Я показал, что это решение неверно. Но вы так и не показали, что мое решение неверно. Также по неизвестным причинам мой вопрос получает отрицательный голос без каких-либо объяснений. Наверное, есть люди настолько умные, что им все очевидно, но тогда почему до сих пор никто не дал толкового объяснения, что происходит в этой задаче?
Теперь я считаю, что этот ответ неверен. Я оставлю это здесь, потому что думаю, что большинство людей будут следовать этой линии рассуждений. Проблема с этим ответом в том, что он игнорирует емкость плиты. Подробное объяснение см. В другом моем ответе.

Олимпиадный вопрос по физике о зарядном конденсаторе

Ганс

малиновый

Ганс

малиновый

Ганс

малиновый

Ганс

малиновый

Ганс

Qмеханик

Ответы (3)

малиновый

Лио Эльбаммальф

Расстояние протекания тока должно находиться в пределах материала, содержащего электроны, которые вы хотите переместить. Вы не получите ток без электронов *

Ганс

Ганс

Ганс

Ганс

Лио Эльбаммальф

Ганс

малиновый

Ганс

Ганс

Ганс

малиновый

Емкость: как увеличить общий заряд батареи?

Очевидный парадокс тока через два параллельных пластинчатых конденсатора, соединенных последовательно в разомкнутой цепи.

Конденсаторы в последовательной цепи с диэлектриком

Тангенциальный ток пластин зарядного конденсатора (функция x)

Цилиндрический конденсатор в электрической цепи

Конденсаторы параллельны или последовательно?

Почему существует электрическое поле ВНЕ батареи?

Электрическая потенциальная энергия заряженного проводника

Возникает ли заряд на поверхности проводника с током?

Что произойдет, если вы используете батарею, чтобы полностью зарядить конденсатор, а затем отключите батарею, куда «уйдет» заряд?