Нарушаются ли законы Кирхгофа в случае переменного магнитного поля?

Это зависит от того, какую именно формулировку вы хотите использовать для законов Кирхгофа в нестатических ситуациях, когда у вас есть зависящие от времени магнитные поля, пронизывающие вашу цепь. Однако, если вы понимаете закон Кирхгофа о напряжении, утверждающий, что сопротивление всех элементов в замкнутом контуре, умноженное на ток, должно быть равно нулю, тогда да, это утверждение может быть нарушено в реальных сценариях.

Ментальная модель электрических полей с течением воды по каналу чрезвычайно полезна в электростатических ситуациях, где ее достоверность следует из утверждения, что электростатическое поле консервативно, т. е.

$$\oint_C \mathbf E(\mathbf r)\cdot \mathrm d\mathbf l = 0 \tag{$*$}$$ (поэтому уместно смоделировать эту силу с помощью других консервативных сил, таких как гравитация, которая питает воду в канале в этой аналогии).

Однако, когда ваша ситуация больше не является электростатической и есть изменяющийся магнитный поток, пронизывающий вашу цепь, электрическое поле больше не является консервативным векторным полем, и отношение$(*)$необходимо заменить законом индукции Фарадея-Генри,

$$\oint_C \mathbf E(\mathbf r)\cdot \mathrm d\mathbf l = -\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \iint_S \mathbf B(\mathbf r) \cdot \mathrm d \mathbf S . \tag{$**$}$$ Утверждение о наличии изменяющегося магнитного потока, пронизывающего вашу цепь, эквивалентно утверждению, что правая часть этого уравнения отлична от нуля, и обычное электростатическое понимание закона напряжения Кирхгофа больше не действует.

Теперь действительно есть несколько способов примирить эти заявления с обычным пониманием, которые позволяют нам применить эту интуицию к более широкому набору режимов. Это относится, например, к правой стороне$(**)$как ЭДС, действующую на всю цепь, а затем, как обычно, разделить ее между сопротивлениями в цепи. Это особенно верно, если область потока ограничена небольшим участком контура, скажем, примерно так:

и вы не собираетесь возиться с внутренностями этого цикла. (Это, например, именно то, что происходит, если у вас есть цепь переменного тока, управляемая трансформатором.) В такой ситуации вы можете использовать закон напряжения Кирхгофа, как обычно, и рассматривать меньшую подконтур как одну ЭДС, и все будет работать нормально. ; если вы подключите вольтметры к клеммам ваших резисторов, вы увидите, что закон напряжения работает очень хорошо. Но, конечно, если вы соедините их с частями внутреннего цикла (который изоморфен тому, что сделал Левин), то вы увидите те же самые отклонения.

Ключом к урегулированию этого несоответствия в абстракции сосредоточенных элементов является рассмотрение индуктивности контура как дополнительного элемента схемы. Закон напряжения Кирхгофа вытекает из закона Фарадея, который гласит, что в замкнутом контуре:

$$\oint_R {\vec E \cdot d\vec R} = - \int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S}$$ Где$S$- открытая поверхность, границей которой является замкнутый контур$R$. Линейный интеграл можно разложить на различные интегралы по путям, каждый из которых проходит через определенный элемент цепи: $$\int_A^B {\vec E \cdot d\vec R} + \int_B^C {\vec E \cdot d\vec R} + \int_C^D {\vec E \cdot d\vec R} + \int_D^A {\vec E \cdot d\vec R}= - \int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S}$$ Каждый интеграл пути представляет собой напряжение связанного с ним элемента схемы (которое может без проблем изменяться во времени, мы уже указали путь, определив цикл$R$). Поэтому: $$v_{AB} + v_{BC} + v_{CD} + v_{DA} = - \int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S}$$ Теперь ЭДС в правой части можно выразить через индуктивность контура: $$\int_S {\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \cdot d\vec S} = L \frac{di_L}{dt} = v_L$$ Где$i_L$— ток в петле, обратите внимание, что эта ЭДС имеет единицы измерения напряжения, поэтому мы можем думать о ней как о напряжении определенного элемента с сосредоточенными параметрами, называемого индуктором , который специфичен для каждой петли (и обратите внимание, что напряжение индуктора падает до нуля при постоянном токе, потому что$i_L$становится постоянной). Эту катушку индуктивности можно рассматривать как дополнительный элемент контура, поэтому мы смещаем это напряжение в левую сторону и имеем: $$v_{AB} + v_{BC} + v_{CD} + v_{DA} + v_L= 0$$ В общем, у нас есть для любого цикла: $$\sum_{k=1}^{n}{v_k} = 0$$ Это закон напряжения Кирхгофа.

Подводя итог, можно сказать, что абстракция, которую вы используете для моделирования эксперимента в виде схемы, терпит неудачу, потому что вы недостаточно детализированы, вы должны включить индуктивность петли, которая даст вам петлю, подобную этой:

PD: Я ответил на аналогичный вопрос здесь , но я не могу комментировать, поэтому в итоге я конкретизировал правильный ответ.