Некоторая ошибка в расчетах при нахождении тензора энергии-импульса

Если лагранжиан в теории Максвелла равен

$$L= R- \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

Я хочу найти$T_{\mu\nu}$

Процедура заключается в том, что я варьирую действие:

$$\delta S = -1/2 \int{d^4x \sqrt{g}(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}L-2\delta L)}$$

я рассчитал

$$\delta L = 2(\delta g^{\mu\nu})F_{\nu}\, ^{\lambda} F_{\mu\lambda}$$ Затем я заменял вещи обратно, игнорируя R в лагранжиане выше по причине, которую я не узнаю, но я стремился получить окончательный ответ, который был $T_{\mu\nu}$- Я поискал в гугле, чтобы найти его равным $$T_{\mu\nu}= F_{\mu\lambda} F^\lambda_\nu - 1/4g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$$

Когда я заменил свой$\delta L$, и$L$и опять ($L$будучи лишенным R) я получил:

$$\delta S = \int{ d^4x \sqrt{g} \delta g^{\mu\nu}(-1/4 g_{\mu\nu}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}F _\nu \, ^\lambda F_{\mu\lambda})}$$ Таким образом, из-за отношения $\delta S = \int{ d^4x \sqrt{g} \delta g^{\mu\nu}(T_{\mu\nu})}$Я знал по идентификации, что мой Тензор $$-1/4 g_{\mu\nu}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}F_\nu \, ^\lambda F_{\mu\lambda}.$$

Сравнение с тем, что я нашел в Интернете, я не знаю, как избавиться от$g_{\mu\nu}$во втором члене моего тензора, и я не знаю, почему мои индексы F в первом члене такие же, как у метрики g, в отличие от тензора, который я искал в Google.

Не могли бы вы помочь мне найти мою ошибку?