Принцип действия электромагнетизма и гравитации

Question

Принцип действия электромагнетизма и гравитации

Ондржей Чертик

Вот формула для тензора энергии напряжения:

Т_{мю ν} "=" - \frac{2}{\sqrt{| дет г |}} \frac{дельта С_{Е М}}{дельта г^{мю ν}}

$T_{\mu\nu} = - {2\over\sqrt{ |\det g| }}{\delta S_{EM}\over \delta g^{\mu\nu}}$ (Это следует из варьирования полного действия

S = S_{H} + S_{E M}

$S = S_H + S_{EM}$ , где

S_{H} = \frac{c^{4}}{16 π G} \int R \sqrt{| det g_{μ ν} |} d^{4} x

$S_H={c^4\over 16\pi G} \int R \sqrt{ |\det g_{\mu\nu}| } d^4 x$ является действием Гильберта и дает уравнения Эйнштейна, и

S_{E M}

$S_{EM}$ — другие члены лагранжиана, которые вносят вклад в правую часть уравнений Эйнштейна в виде

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ выше.) Лагранжиан электромагнитного поля:

С_{Е М 1} "=" - \int \frac{1}{4 {мю}_{0}} Ф_{α β} Ф^{α β} \sqrt{| дет г |} г^{4} Икс

$S_{EM1} = -\int {1\over 4\mu_0} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \sqrt{ |\det g| } d^4 x$

и, используя приведенную выше формулу, мы получаем для тензора энергии напряжения:

Т_{мю ν} "=" \frac{1}{{мю}_{0}} (Ф_{мю β} Ф_{ν}^{β} - \frac{1}{4} Ф_{α β} Ф^{α β} г_{мю ν})

$T_{\mu\nu} = {1\over \mu_0} \left( F_{\mu\beta} F_\nu{}^\beta -{1\over 4} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} g_{\mu\nu} \right)$ что является правильным elmag. тензор энергии напряжения. Однако интерактивная часть elmag. Лагранжиан

С_{Е М 2} "=" - \int {Дж}_{мю} А^{мю} \sqrt{| дет г |} г^{4} Икс

$S_{EM2} = -\int j_\mu A^\mu \sqrt{ |\det g| } d^4 x$ и если мы интерпретируем это как функцию

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ это также будет способствовать тензору энергии напряжения следующим образом:

дельта С_{Е М 2} "=" - дельта \int {Дж}_{мю} А^{мю} \sqrt{| дет г |} г^{4} Икс "=" - \int дельта (г^{мю ν} {Дж}_{мю} А_{ν} \sqrt{| дет г |}) г^{4} Икс "="

$\delta S_{EM2} = -\delta\int j_\mu A^\mu \sqrt{ |\det g| } d^4 x =-\int \delta (g^{\mu\nu} j_\mu A_\nu \sqrt{ |\det g| }) d^4 x =$

"=" - \int (дельта г^{мю ν}) ({Дж}_{мю} \sqrt{| дет г |})) А_{ν} г^{4} Икс

$=-\int (\delta g^{\mu\nu}) (j_\mu \sqrt{ |\det g| })) A_\nu d^4 x$

где $j_\mu \sqrt{ |\det g| }$ рассматривается как плотность тока (и, следовательно, не зависит от $g^{\mu\nu}$ при изменении), однако ясно, что соответствующий этому тензор энергии напряжения будет:

Т_{мю ν} "=" 2 {Дж}_{мю} А_{ν}

$T_{\mu\nu} = 2 j_\mu A_\nu$ (Возможно, вклад вносит только симметричная часть, поскольку антисимметричная часть сокращается с

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ , поэтому мы получили бы

T_{μ ν} = j_{μ} A_{ν} + j_{ν} A_{μ}

$T_{\mu\nu} = j_\mu A_\nu + j_\nu A_\mu$ .) В любом случае такие члены должны появиться в правой части уравнений Эйнштейна. Однако я не думаю, что это правильно.

Кто-нибудь знает, что здесь не так?

Джерри Ширмер

Переменные, которые вы меняете,

A_{μ}

$A_{\mu}$ и

g^{μ ν}

$g^{\mu \nu}$ . С

A_{μ}

$A_{\mu}$ естественно появляется с пониженным индексом, вариация

j^{μ} A_{μ}

$j^{\mu}A_{\mu}$ по обратной метрике равен нулю, если нет множителей

g^{μ ν}

$g^{\mu \nu}$ скрыто в

j^{μ}

$j^{\mu}$ . Кроме того, вы упускаете фактор

R

$R$ это дает вам динамику гравитации, хотя это может быть сделано намеренно.

Ондржей Чертик

Привет Джерри, я думаю, что это все. (Да, я пропустил фактор

R

$R$ для уравнений Эйнштейна здесь.) Но откуда я знаю, что иногда мне нужно использовать

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ фактор (а затем изменить его), а иногда и нет? Мне кажется, что это совершенно произвольно.

Джерри Ширмер

Вы должны принять решение о том, какой термин вы собираетесь изменить. Нет никакого фактора

g^{μ ν}

$g^{\mu \nu}$ в

A_{μ} j^{μ}

$A_{\mu}j^{\mu}$ , потому что

A_{μ}

$A_{\mu}$ естественно появляется с индексом вниз. Этот термин представляет собой форму, действующую на вектор, которая происходит независимо от метрики. И

j^{μ}

$j^{\mu}$ естественно является вектором, а не одной формой, потому что обычно определяется

j^{μ} \equiv \frac{δ L_{c h a r g e d m a t t e r}}{δ A_{μ}}

$j^{\mu} \equiv \frac{\delta L_{\rm charged matter}}{\delta A_{\mu}}$ .

Джерри Ширмер

Таким образом, в естественном смысле нет никакой зависимости от метрики ни в одном члене.

Ондржей Чертик

Джерри, большое спасибо. То, что вы пишете, имеет для меня большое значение. Но как насчет такого термина, как

p_{μ} p^{μ}

$p_\mu p^\mu$ (см. physics.stackexchange.com/questions/17604/… )? Может быть, потому что это смешанный термин с

p_{μ}

$p_\mu$ и

p^{μ}

$p^\mu$ нужно преобразовать его только для использования

p_{μ}

$p_\mu$ (скажем), и каждый получает

g^{μ ν} p_{μ} p_{ν}

$g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu$ и метрика (естественно?) есть. В то время как для термина, как

j^{μ} A_{μ} = j_{μ} A^{μ}

$j^\mu A_\mu = j_\mu A^\mu$ , метрики там естественно нет. Но я предполагаю, что мне действительно нужно предположить (указать) это заранее, верно?

Ондржей Чертик

Еще один вопрос: почему

A^{μ}

$A^\mu$ естественно появляются с нижним индексом? Так ли это

F_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ имеет оба индекса вниз? (Производная, естественно, с понижающим индексом, и для его повышения нужно использовать метрику, это мне понятно.)

Рон Маймон

@Ondrej: Вы получаете тот же источник тензора напряжений для уравнений Эйнштейна с любой позицией индекса, как я описываю в своем ответе. Нижний индекс дает чуть более простую вариацию, вот и все.

Джерри Ширмер

@Ondrej: но ты должен решить изменить тот или иной выбор. После того, как вы это исправили, вы решили, какие степени свободы являются полевыми, а какие состоят из операторов инверсии, операций возведения и т. д.

Феде Л.А.

Вам может быть полезен раздел 48 "Теории пространства, времени и тяготения" В.А. Фока.

Ответы (3)

Принцип действия электромагнетизма и гравитации

Переменные, которые вы меняете, $A_{\mu}$ и $g^{\mu \nu}$ . С $A_{\mu}$ естественно появляется с пониженным индексом, вариация $j^{\mu}A_{\mu}$ по обратной метрике равен нулю, если нет множителей $g^{\mu \nu}$ скрыто в $j^{\mu}$ . Кроме того, вы упускаете фактор $R$ это дает вам динамику гравитации, хотя это может быть сделано намеренно.
Привет Джерри, я думаю, что это все. (Да, я пропустил фактор $R$ для уравнений Эйнштейна здесь.) Но откуда я знаю, что иногда мне нужно использовать $g^{\mu\nu}$ фактор (а затем изменить его), а иногда и нет? Мне кажется, что это совершенно произвольно.
Вы должны принять решение о том, какой термин вы собираетесь изменить. Нет никакого фактора $g^{\mu \nu}$ в $A_{\mu}j^{\mu}$ , потому что $A_{\mu}$ естественно появляется с индексом вниз. Этот термин представляет собой форму, действующую на вектор, которая происходит независимо от метрики. И $j^{\mu}$ естественно является вектором, а не одной формой, потому что обычно определяется $j^{\mu} \equiv \frac{\delta L_{\rm charged matter}}{\delta A_{\mu}}$ .
Таким образом, в естественном смысле нет никакой зависимости от метрики ни в одном члене.
Джерри, большое спасибо. То, что вы пишете, имеет для меня большое значение. Но как насчет такого термина, как $p_\mu p^\mu$ (см. physics.stackexchange.com/questions/17604/… )? Может быть, потому что это смешанный термин с $p_\mu$ и $p^\mu$ нужно преобразовать его только для использования $p_\mu$ (скажем), и каждый получает $g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu$ и метрика (естественно?) есть. В то время как для термина, как $j^\mu A_\mu = j_\mu A^\mu$ , метрики там естественно нет. Но я предполагаю, что мне действительно нужно предположить (указать) это заранее, верно?
Еще один вопрос: почему $A^\mu$ естественно появляются с нижним индексом? Так ли это $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ имеет оба индекса вниз? (Производная, естественно, с понижающим индексом, и для его повышения нужно использовать метрику, это мне понятно.)
@Ondrej: Вы получаете тот же источник тензора напряжений для уравнений Эйнштейна с любой позицией индекса, как я описываю в своем ответе. Нижний индекс дает чуть более простую вариацию, вот и все.
@Ondrej: но ты должен решить изменить тот или иной выбор. После того, как вы это исправили, вы решили, какие степени свободы являются полевыми, а какие состоят из операторов инверсии, операций возведения и т. д.
Вам может быть полезен раздел 48 "Теории пространства, времени и тяготения" В.А. Фока.

Рон Маймон · Answer 1

Комментарии Джерри Ширмера раскрывают вам основную идею, но я хотел бы изложить их более подробно и в форме ответов. Когда вы варьируете действие по отношению к $A_\mu$ , вариант метрики не дает упомянутого вами нежелательного термина. Но если вы меняетесь относительно $A^\mu$ , вы получаете этот член, и он не должен появляться в правой части уравнений Эйнштейна, поскольку мы уже знаем эти уравнения из версии вариации в форме A 1.

Но уравнения движения не должны заботиться о том, решите ли вы варьировать относительно $A^\mu$ или относительно $A_\mu$ , вы должны получить те же уравнения. Формально

дельта С "=" \frac{дельта С}{дельта г_{мю ν}} дельта г_{мю ν} + \frac{дельта С}{дельта А_{мю}} дельта А_{мю}

$\delta S = {\delta S\over \delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu} + {\delta S \over \delta A_\mu} \delta A_\mu$

А уравнения Эйнштейна — это коэффициенты $\delta g$ , а (векторный потенциал непустых) уравнения Максвелла являются коэффициентами $\delta A$ .

Вариации в $A^{\mu},g_{\mu\nu}$ может быть легко выражено через вариации $A_{\mu},g_{\mu\nu}$ ,

дельта А_{ν} "=" дельта А^{мю} г_{мю ν} + А^{мю} дельта г_{мю ν}

$\delta A_{\nu} = \delta A^{\mu} g_{\mu\nu} + A^{\mu}\delta g_{\mu\nu}$

Что при выражении полной вариации действия линейно смешивает части Эйнштейна и Максвелла:

дельта С "=" (\frac{дельта С}{дельта г_{мю ν}} + \frac{дельта С}{дельта А_{мю}} А^{ν}) дельта г_{мю ν} + \frac{дельта С}{дельта А_{мю}} г_{мю ν} дельта А^{ν}

$\delta S = ( {\delta S\over \delta g_{\mu\nu}} + {\delta S \over \delta A_{\mu}} A^{\nu})\delta g_{\mu\nu} + {\delta S\over\delta A_{\mu}} g_{\mu\nu} \delta A^{\nu}$

Где вариационные производные - это все старые вариационные производные по паре $g_{\mu\nu},A_{\mu}$ удерживая другую фиксированной. Эти линейные комбинации дают новые вариации. Легко увидеть, что новые уравнения движения удовлетворяются тогда и только тогда, когда удовлетворяются старые, так что ничего не изменилось.

Новые уравнения Максвелла после умножения на обратную метрику остаются такими же, как и старые. Но в новом уравнении Эйнштейна есть дополнительный исходный член:

\frac{дельта С}{дельта А_{мю}} А^{ν}

${\delta S \over \delta A_\mu} A^{\nu}$

Этот дополнительный исходный член, очевидно, равен нулю согласно уравнениям Максвелла, но $\delta S \over \delta A_\mu$ включает термин $J^\mu$ , поэтому термин, который вас беспокоил, появляется здесь. Этот вариант дает правую часть уравнений Эйнштейна, которая включает дополнительное напряжение, которое включает исходный член, в форме уравнения Максвелла, умноженного на векторный потенциал.

(Д_{мю} Ф^{мю ν} - {Дж}^{ν}) А^{мю}

$( D_{\mu} F^{\mu\nu} - J^{\nu}) A^\mu$

Но теперь очевидно, что вклад напряжения исчезает (как это всегда было, потому что это всего лишь вариация по разным переменным одного и того же действия).

О вариациях плотности

Ответ Джона вычисляет дополнительный член из различных $\sqrt{g}$ , но этого термина нет. Это по причине, объясненной в ответе на этот вопрос: Лагранжиан для вопросов о выводе релятивистской пыли .

Когда вы меняете метрику с помощью ЭМ и, скажем, заряженного источника пыли, вы держите $J\sqrt{g}$ зафиксированный. По той же причине, по которой плотность импульса остается фиксированной, вы сохраняете число мировых линий постоянным, когда меняете g, так что сохраняющиеся токи и заряды сохраняются при метрических вариациях.

Спасибо! Я думал о вашем ответе в «Лагранжиане для вопросов о выводе релятивистской пыли», и теперь мне ясно, что вам нужно придерживаться $J\sqrt{g}$ зафиксированный. Таким образом, вы не получаете никаких дополнительных терминов, исходящих из различных $\sqrt{g}$ , теперь понятно. Я подумаю над остальной частью вашего ответа в течение некоторого времени (и проработаю его сам, чтобы хорошо его понять), прежде чем принять его.
Исправление: $\delta A_{nu}$ выше должно быть $\delta (A^\mu g_{\mu\nu})$ .
@Ondrej: да, это была текстовая опечатка для $\delta A_\nu$ зафиксированный.

Джон · Answer 2

Джон

Я думаю, что в выражении

С_{Е М 2} "=" - \int {Дж}_{мю} А^{мю} \sqrt{- г} г^{4} Икс

$S_{EM2} = -\int j_\mu A^\mu \sqrt{ -g } d^4 x$ Вы должны получить также определитель. Если вы сделаете это, вы получите

\frac{1}{2} \sqrt{- г} ({Дж}_{ν} А_{мю} + {Дж}_{мю} А_{ν}) дельта г^{мю ν} - \frac{1}{2} г_{мю ν} \sqrt{- г} Дж \cdot А дельта г^{мю ν} .

$\frac{1}{2}\sqrt{-g}(j_\nu A_\mu+j_\mu A_\nu) \delta g^{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\sqrt{-g}j\cdot A\delta g^{\mu\nu}.$ Итак, вы получите

Т_{мю ν}^{(2)} "=" - \frac{2}{\sqrt{- г}} \frac{дельта С_{Е М 2}}{дельта г^{мю ν}} "=" - ({Дж}_{ν} А_{мю} + {Дж}_{мю} А_{ν}) + г_{мю ν} Дж \cdot А .

$T^{(2)}_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{EM2}}{\delta g^{\mu\nu}} =-(j_\nu A_\mu+j_\mu A_\nu)+g_{\mu\nu}j\cdot A.$ Это должен быть правильный результат.

Ондржей Чертик

Формула энергии напряжения

T_{μ ν}^{(2)} = - \frac{2}{\sqrt{- g}} \frac{δ S_{E M 2}}{δ g^{μ ν}}

$T^{(2)}_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{EM2}}{\delta g^{\mu\nu}}$ так что вы не получите

\frac{1}{2}

$1\over 2$ в финальном ответе.

Ондржей Чертик

Если определитель тоже нужно варьировать, то ваш вывод верен (хотя Дирак его не меняет). Однако я никогда раньше не видел такого тензора энергии напряжения (состоящего из

j

$j$ и

A

$A$ ). Только

T_{μ ν} = \frac{1}{μ_{0}} (F_{μ β} F_{ν}^{β} - \frac{1}{4} F_{α β} F^{α β} g_{μ ν})

$T_{\mu\nu} = {1\over \mu_0} \left( F_{\mu\beta} F_\nu{}^\beta -{1\over 4} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} g_{\mu\nu} \right)$ . Есть ли у вас какой-нибудь указатель на литературу по этому поводу? Какова его физическая интерпретация?

Ондржей Чертик

Небольшой комментарий: я думаю, что вы ошиблись с общим знаком, есть минус в действии, минус в определении тензора энергии напряжения и минус в изменении определителя, поэтому я думаю, что правильный ответ

Т_{мю ν}^{(2)} "=" - \frac{2}{\sqrt{- г}} \frac{дельта С_{Е М 2}}{дельта г^{мю ν}} "=" + ({Дж}_{ν} А_{мю} + {Дж}_{мю} А_{ν}) - г_{мю ν} Дж \cdot А .

$T^{(2)}_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{EM2}}{\delta g^{\mu\nu}} =+(j_\nu A_\mu+j_\mu A_\nu)-g_{\mu\nu}j\cdot A.$ . Но в любом случае, знак не важен для этого обсуждения.

Джон

Спасибо, я исправил коэффициент 1/2. Вы можете проверить здесь en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations_in_curved_spacetime . Член взаимодействия дает вклад в правую часть уравнений Эйнштейна. Это можно понимать как наличие зарядовой материи, которая добавляет вклад в тензор энергии напряжения.

Ондржей Чертик

Спасибо. Чтобы мы понимали друг друга, вы говорите, что правая часть уравнений Эйнштейна будет содержать:

T_{μ ν}^{(1)} + T_{μ ν}^{(2)}

$T_{\mu\nu}^{(1)}+T_{\mu\nu}^{(2)}$ , где

T_{μ ν}^{(1)} = \frac{1}{μ_{0}} (F_{μ β} F_{ν}^{β} - \frac{1}{4} F_{α β} F^{α β} g_{μ ν})

$T_{\mu\nu}^{(1)}={1\over \mu_0} \left( F_{\mu\beta} F_\nu{}^\beta -{1\over 4} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} g_{\mu\nu} \right)$ и

T_{μ ν}^{(2)} = - (j_{ν} A_{μ} + j_{μ} A_{ν}) + g_{μ ν} j \cdot A

$T^{(2)}_{\mu\nu} =-(j_\nu A_\mu+j_\mu A_\nu)+g_{\mu\nu}j\cdot A$ . Я зашел на вики, и я вижу там

T_{μ ν}^{(1)}

$T^{(1)}_{\mu\nu}$ срок, но не

T_{μ ν}^{(2)}

$T^{(2)}_{\mu\nu}$ срок. Я что-то пропустил?

Джон

Вот что я имею в виду. Материя также может быть заряжена, и это необходимо учитывать в уравнениях Эйнштейна.

Ондржей Чертик

Благодарю за разъяснение. у меня есть сомнения по поводу

T_{μ ν}^{(2)}

$T^{(2)}_{\mu\nu}$ термин -- я никогда не видел его (дайте мне знать, если я пропустил его в вики). На самом деле не имеет значения, меняете ли вы определитель или нет (он просто добавляет

j \cdot A

$j\cdot A$ срок). Заряженное вещество влияет на элмаг. само поле(

A^{μ}

$A^\mu$ соотв.

F^{μ ν}

$F^{\mu\nu}$ ), который является частью

T_{μ ν}^{(1)}

$T^{(1)}_{\mu\nu}$ тензор, зарядовая материя учитывается через

F^{μ ν}

$F^{\mu\nu}$ поле уже. Но меня смущает, почему нет такого термина, потому что кажется, что его подсказывает вариационный принцип.

Джон

Я не совсем понял ваши последние предложения. Если у вас есть заряженное вещество, например сферический заряженный объект, вам необходимо учесть это в уравнении Эйнштейна, и оно не содержится в тензоре энергии электромагнитного напряжения. Вы сможете лучше понять это, если учтете, что ковариантная производная правой части уравнений Эйнштейна даст вам уравнения движения материи. Вы должны наложить

\nabla_{μ} T^{μ ν} = 0

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ .

Ондржей Чертик

Джон, насколько я понимаю, заряженная материя создает поле элмага.

F^{μ ν}

$F^{\mu\nu}$ через правую часть уравнений Максвелла (содержащую

j^{μ}

$j^\mu$ ). Таким образом, зарядовая материя порождает

F^{μ ν}

$F^{\mu\nu}$ . Этот

F^{μ ν}

$F^{\mu\nu}$ уже является частью

T_{μ ν}^{(1)}

$T^{(1)}_{\mu\nu}$ , и как таковой он уже учитывается в уравнениях Эйнштейна. Другими словами, заряженная материя искривляет пространство-время из-за своей массы, а также из-за своего заряда/токов. Существует ли также термин

T_{μ ν}^{(2)}

$T^{(2)}_{\mu\nu}$ это другой вопрос. Если вы знаете какую-либо литературу или веб-страницу об этом, пожалуйста, укажите мне.

Джон · Answer 3

На самом деле ваша исходная формула неверна: $\delta(S_{EM})/\delta(g(u,v))$ должно быть $\delta(L_{EM}/\delta(g(u,v))$ , где $L$ (лагранжиан) — это то, что интегрируется по пространству, чтобы получить действие $S$ .

Дело в яблоках и апельсинах: действие есть интеграл лагранжиана, $\delta$ (действие) остается числом, а не функцией пробела, как требуется.

Интересно, что и в книге Уолда, и в книге MTW это неправильно, как и у вас, так что это понятно. Если вы посмотрите на другие источники по лагранжевой теории поля или даже на статью в Википедии о тензоре энергии-импульса при тензоре энергии-импульса Гильберта, то увидите, что они верны, принимая дельту функции плотности L, а не ее интеграл, S, при определении тензора энергии-импульса (который является пространственной функцией).

Это не влияет на вашу работу над задачей, но примечательно, что эти два широко используемых учебника по ОТО написали эту вещь, которая не имеет смысла, и все просто принимают это и продолжают действовать так, как будто это имеет смысл. Студенты очень приветливые люди.

Можете ли вы быть более конкретным и использовать нотацию Latex, чтобы написать то, что, по вашему мнению, должно быть правильной формулой? Я думаю, что то, что я написал, правильно. Вы берете лагранжеву плотность , интегрируете по пространству-времени (четырехмерный интеграл), чтобы получить действие. Затем вы применяете функциональную производную к действию , а не к лагранжевой плотности. Насколько я знаю, это по крайней мере стандартное определение.

Принцип действия электромагнетизма и гравитации

Ондржей Чертик

Джерри Ширмер

Ондржей Чертик

Джерри Ширмер

Джерри Ширмер

Ондржей Чертик

Ондржей Чертик

Рон Маймон

Джерри Ширмер

Феде Л.А.

Ответы (3)

Рон Маймон

О вариациях плотности

Ондржей Чертик

Ондржей Чертик

Рон Маймон

Джон

Ондржей Чертик

Ондржей Чертик

Ондржей Чертик

Джон

Ондржей Чертик

Джон

Ондржей Чертик

Джон

Ондржей Чертик

Джон

Ондржей Чертик

Различные формы уравнения поля Эйнштейна

Является ли гравитация просто электромагнитным притяжением?

Гравитация сильнее электромагнитной силы в черной дыре?

Геодезические от решения уравнений полного поля такие же, как путь от тензора энергии-импульса?

Действие системы Эйнштейна-Максвелла для произвольных размерностей

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля с источниками

Можем ли мы построить логически непротиворечивую релятивистскую теорию гравитации, просто изменив ЭМ?

Как столкновение нейтронной звезды превращает массу в гравитационные волны?

Если гравитация — это изгиб Пространства-времени, то что такое магнетизм?

Некоторая ошибка в расчетах при нахождении тензора энергии-импульса