Эквивалентность уравнения геодезической и уравнения неразрывности для тензора энергии-импульса

Question

Эквивалентность уравнения геодезической и уравнения неразрывности для тензора энергии-импульса

Жак

Я застрял с упражнением в книге Шона Кэрролла « Пространство-время и геометрия» (глава 4, упражнение 3). Цель состоит в том, чтобы показать, что непрерывность тензора энергии-импульса, т.е.

\begin{matrix} (1) & \nabla_{мю} Т^{мю ν} "=" 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\tag{1} \end{equation}$ эквивалентно уравнению геодезической в случае свободной частицы. Тензор энергии-импульса свободной частицы с массой

m

$m$ движется по своей мировой линии

x^{μ} (τ)

$x^\mu (\tau )$ является

\begin{matrix} (2) & Т^{мю ν} (у^{о}) "=" м \int г т \frac{{дельта}^{(4)} (у^{о} - {Икс}^{о} (т))}{\sqrt{- г}} \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т} . \end{matrix}

$\begin{equation} T^{\mu\nu}(y^\sigma)=m\int d \tau \frac{\delta^{(4) }(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}.\tag{2} \end{equation}$ Взятие ковариантной производной этого тензора дает

\begin{aligned} \nabla_{мю} Т^{мю ν} "=" & м \int г т \nabla_{мю} [\frac{{дельта}^{(4)} (у^{о} - {Икс}^{о} (т))}{\sqrt{- г}}] \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т} \\ (3) & + м \int г т \frac{{дельта}^{(4)} (у^{о} - {Икс}^{о} (т))}{\sqrt{- г}} \nabla_{мю} [\frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т}] . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_\mu T^{\mu\nu}=&m\int d \tau \nabla_\mu\left[ \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\right]\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\cr &+m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\nabla_\mu\left[\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\right].\tag{3} \end{align}$ Первая ковариантная производная правой части приведенного выше уравнения сводится к обычной частной производной, поскольку аргумент является скаляром. Это позволяет применить частичное интегрирование к этому члену. Вторая ковариантная производная имеет аргумент, который явно не зависит от

y^{σ}

$y^\sigma$ , поэтому ковариантную производную можно записать как произведение этого тензора на соответствующие символы Кристоффеля. Это, наконец, приводит нас к

\begin{aligned} - м \int г т \frac{{дельта}^{(4)} (у^{о} - {Икс}^{о} (т))}{\sqrt{- г}} \frac{г^{2} {Икс}^{ν}}{г т^{2}} \\ (4) & + м \int г т \frac{{дельта}^{(4)} (у^{о} - {Икс}^{о} (т))}{\sqrt{- г}} [Г_{мю о}^{мю} \frac{г {Икс}^{о}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т} + Г_{мю о}^{ν} \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{о}}{г т}] . \end{aligned}

$\begin{align} &-m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\frac{d^2x^\nu}{d\tau^2} \cr &+ m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\left[ \Gamma^\mu_{\mu\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} + \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau} \right].\tag{4} \end{align}$ Уравнение неразрывности требует

\begin{matrix} (5) & - \frac{г^{2} {Икс}^{ν}}{г т^{2}} + Г_{мю о}^{мю} \frac{г {Икс}^{о}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т} + Г_{мю о}^{ν} \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{о}}{г т} "=" 0. \end{matrix}

$\begin{equation} -\frac{d^2x^\nu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\mu\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} + \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau}=0.\tag{5} \end{equation}$ Это геодезическое уравнение с лишним членом, т.е. членом посередине и с неверным знаком первого члена. Могу ли я избавиться от этого термина в середине, изменив параметр

τ

$\tau$ мировой линии? А неправильный знак? Что я сделал не так?

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /39526/2451

Жак

@Qmechanic Я уже изучил связанный с этим вопрос, но на самом деле он мне не помогает. К тому же в ответе есть ошибки.

Брайан Мотс

Почему

\nabla_{μ} [\frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}]

$\nabla_\mu \left[\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \dfrac{dx^\nu}{d \tau} \right]$ не равно нулю, так как выражение в скобках не зависит от

y^{μ}

$y^\mu$ ? Я думаю, что вы делаете какой-то трюк, который я не понимаю, с «интегрированием по частям». Единственное, что зависит от

y^{μ}

$y^\mu$ кусок с дельта-функцией. я бы сделал что-то вроде

\frac{d x^{μ}}{d τ} \nabla_{μ} \to \frac{d}{d τ}

$\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \nabla_\mu \to \dfrac{d}{d\tau}$ и ушел оттуда. Я не уверен, как детали работают, хотя.

Жак

@NowIGet... Я этого не говорю

\frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}

$\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$ равен нулю. Ковариантная производная может быть записана как сумма обычной частной производной и ряда терминов, содержащих символы Кристоффеля. Я только что сказал, что частная производная равна 0. Это потому, что ковариантная производная является производной по переменной

y^{σ}

$y^\sigma$ .

Брайан Мотс

Хорошо, я думаю, что было не так с тем, что вы сделали, когда вы сделали интеграцию по частям, вы нажали

{\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^\nu$ с

\frac{\partial}{\partial τ}

$\dfrac{\partial}{\partial \tau}$ , но ты забыл нажать

\frac{1}{\sqrt{- g}}

$\dfrac{1}{\sqrt{-g}}$ . Это должно дать вам

Γ

$\Gamma$ отменить другие доп.

Γ

$\Gamma$ , но я не уверен.

Ответы (2)

Эквивалентность уравнения геодезической и уравнения неразрывности для тензора энергии-импульса

Связанный: физика.stackexchange.com/q /39526/2451
@Qmechanic Я уже изучил связанный с этим вопрос, но на самом деле он мне не помогает. К тому же в ответе есть ошибки.
Почему $\nabla_\mu \left[\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \dfrac{dx^\nu}{d \tau} \right]$ не равно нулю, так как выражение в скобках не зависит от $y^\mu$ ? Я думаю, что вы делаете какой-то трюк, который я не понимаю, с «интегрированием по частям». Единственное, что зависит от $y^\mu$ кусок с дельта-функцией. я бы сделал что-то вроде $\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \nabla_\mu \to \dfrac{d}{d\tau}$ и ушел оттуда. Я не уверен, как детали работают, хотя.
@NowIGet... Я этого не говорю $\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$ равен нулю. Ковариантная производная может быть записана как сумма обычной частной производной и ряда терминов, содержащих символы Кристоффеля. Я только что сказал, что частная производная равна 0. Это потому, что ковариантная производная является производной по переменной $y^\sigma$ .
Хорошо, я думаю, что было не так с тем, что вы сделали, когда вы сделали интеграцию по частям, вы нажали $\dot{x}^\nu$ с $\dfrac{\partial}{\partial \tau}$ , но ты забыл нажать $\dfrac{1}{\sqrt{-g}}$ . Это должно дать вам $\Gamma$ отменить другие доп. $\Gamma$ , но я не уверен.

Qмеханик · Answer 1

Только будьте осторожны с тем, какое количество зависит от какого аргумента, ср. выше комментарий пользователя NowIGetToLearnWhatAHeadIs. Тогда это работает как шарм:

\begin{aligned} \nabla_{мю}^{(у)} Т^{мю ν} (у) "=" & \partial_{мю}^{(у)} Т^{мю ν} (у) + Г_{мю λ}^{мю} (у) Т^{λ ν} (у) + Г_{мю λ}^{ν} (у) Т^{мю λ} (у) \\ "=" & \frac{1}{\sqrt{- г (у)}} \partial_{мю}^{(у)} (\sqrt{- г (у)} Т^{мю ν} (у)) + Г_{мю λ}^{ν} (у) Т^{мю λ} (у) \\ \overset{(2)}{"="} & \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} \partial_{мю}^{(у)} {дельта}^{4} (у - Икс (т)) + Г_{мю λ}^{ν} (у) Т^{мю λ} (у) \\ "=" & - \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} \partial_{мю}^{(Икс)} {дельта}^{4} (у - Икс (т)) + Г_{мю λ}^{ν} (у) Т^{мю λ} (у) \\ "=" & - \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т {\dot{Икс}}^{ν} \frac{г}{г т} {дельта}^{4} (у - Икс (т)) + Г_{мю λ}^{ν} (у) Т^{мю λ} (у) \\ \overset{внутр. по частям}{"="} & \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т {\ddot{Икс}}^{ν} {дельта}^{4} (у - Икс (т)) + Г_{мю λ}^{ν} (у) Т^{мю λ} (у) \\ - \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} {[{\dot{Икс}}^{ν} {дельта}^{4} (у - Икс (т))]}_{т "=" т_{я}}^{т "=" т_{ф}} \\ \overset{(2)}{"="} & \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т \underset{геодезическое уравнение}{\underset{⏟}{{{\ddot{Икс}}^{ν} + Г_{мю λ}^{ν} (Икс (т)) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{λ}}}} {дельта}^{4} (у - Икс (т)) \\ - \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} {[{\dot{Икс}}^{ν} {дельта}^{4} (у - Икс (т))]}_{т "=" т_{я}}^{т "=" т_{ф}} \\ \overset{геодезическое уравнение}{"="} & - \frac{м}{\sqrt{- г (у)}} \underset{исходные термины}{\underset{⏟}{{[{\dot{Икс}}^{ν} {дельта}^{4} (у - Икс (т))]}_{т "=" т_{я}}^{т "=" т_{ф}}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla^{(y)}_{\mu} T^{\mu\nu}(y) ~=~& \partial^{(y)}_{\mu} T^{\mu\nu}(y) ~+~\Gamma^{\mu}_{\mu\lambda}(y) T^{\lambda\nu}(y) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{-g(y)}}\partial^{(y)}_{\mu} \left(\sqrt{-g(y)}T^{\mu\nu}(y)\right) +\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}\partial^{(y)}_{\mu}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~&-\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}\partial^{(x)}_{\mu}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~&-\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu} \frac{d}{d\tau}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr \stackrel{\text{int. by parts}}{=}&~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\ddot{x}^{\nu} \delta^4(y\!-\!x(\tau)) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y)\cr &~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f} \cr ~~~~~~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau\underbrace{\left\{\ddot{x}^{\nu}+ \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(x(\tau))\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\lambda} \right\}}_{\text{geodesic eq.}}\delta^4(y\!-\!x(\tau ))\cr &~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f}\cr \stackrel{\text{geodesic eq.}}{=}&~~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\underbrace{\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f}}_{\text{source terms}}. \end{align}$ Исходные члены естественным образом нарушают уравнение неразрывности (1), поскольку они соответствуют рождению и уничтожению энергии-импульса частицы. Вдали от условий источника создания и уничтожения должно выполняться уравнение неразрывности (1), которое затем обеспечивает выполнение геодезического уравнения .

◻

$\Box$

Ясно мне теперь. Спасибо. Личность $\Gamma^\mu_{\mu \sigma}=\frac {1}{\sqrt{-g}}\partial_\sigma \left( \sqrt{-g} \right)$ было недостающим звеном в моих рассуждениях.
@Qmechanic Спасибо за ответ. Если мы попытаемся получить $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}$ для непрерывного распространения пыли получаем $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = (\text{continuity eqn}) + (\text{geodesics eqn})$ . Я думаю, что ваш «исходный термин» является своего рода уравнением непрерывности для $\delta$ - подобное распределение.
@Qmechanic 1. В третьей строке/равенстве вы только что отменили $\sqrt{-g(y)}$ с $\sqrt{-g}$ внутри $T^{\mu\nu}(y)$ интеграл? 2. Разве это не $\sqrt{-g}$ внутри интеграла, зависящего от $x$ ?
1. Да. 2. Да, но есть еще и дельта-функция.
Есть ли какое-то конкретное свойство, которое вы используете? $\frac{1}{ф (у)} \int ф (Икс) г (Икс) дельта (Икс - у) г Икс "=" \int г (Икс) дельта (Икс - у) г Икс$ $\frac{1}{f(y)}\int f(x)g(x)\delta(x-y)\, dx=\int g(x)\delta(x-y)\, dx$ или что-то вроде того?

Майк Стоун · Answer 2

Есть гораздо более простой путь к геодезическому уравнению: рассмотрим облако невзаимодействующих частиц пыли с соответствующей плотностью массы. $\rho_0$ и общие четыре скорости $u^\mu$ . У них есть

Т^{мю ν} "=" р_{0} {ты}^{мю} {ты}^{ν} .

$T^{\mu\nu}= \rho_0 u^\mu u^\nu.$ Закон сохранения энергии-импульса говорит, что

0 "=" \nabla_{мю} Т^{мю ν} "=" р_{0} {ты}^{мю} \nabla_{мю} {ты}^{ν} + {ты}^{ν} \nabla_{мю} (р_{0} {ты}^{мю}) .

$0 = \nabla_\mu T^{\mu\nu} = \rho_0 u^\mu\nabla_\mu u^\nu + u^\nu \nabla_\mu(\rho_0 u^\mu).$ Второй член равен нулю по закону сохранения частиц, а первый — это уравнение геодезических.

Аргумент Кэрролла эквивалентен этому, но усложнен тем, что ему нужно ввести дельта-функции, чтобы изолировать одну частицу.

Ааа - только что увидел комментарий Серджио.

Эквивалентность уравнения геодезической и уравнения неразрывности для тензора энергии-импульса

Жак

Qмеханик

Жак

Брайан Мотс

Жак

Брайан Мотс

Ответы (2)

Qмеханик

Жак

Qмеханик

Серхио

Ничтоэм

Qмеханик

Ничтоэм

Qмеханик

Ничтоэм

Майк Стоун

Геодезическое уравнение сохранения энергии-импульса

Решения геодезических уравнений в пространстве AdS3

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Геодезические от решения уравнений полного поля такие же, как путь от тензора энергии-импульса?

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Геодезическое уравнение и нормализация 4-скорости

Насколько близко наблюдатель может приблизиться к черной дыре при пролете без двигателя, не упав в нее?

Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Доказательство: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} для пространства-времени Шварцшильда