Каков физический смысл плотности энергии электростатического поля?

На самом деле в электростатике плотность энергии Е-поля не является физической наблюдаемой величиной. Как вы говорите, только при перемещении зарядов будет выполняться какая-либо работа. Поскольку два способа расчета полной энергии заканчиваются одинаково, вы не можете различить, хранится ли энергия в зарядах или в поле. Даже само Е-поле является скорее абстрактной математической сущностью, без которой все можно рассчитать в терминах закона Кулона.

Физическая реальность полей E и B (и связанной с ними плотности энергии) становится очевидной только в нестатических случаях. Например, в электромагнитном излучении поля могут распространяться в свободном пространстве без связи с зарядами и токами, а излучение может совершать работу над незаряженными (например, световое давление). Поскольку из уравнений Максвелла мы можем вывести общую формулу плотности энергии

$$\rho = \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E|^2 + \frac{1}{2\mu_0} |\vec B|^2$$

что совпадает с электростатическим случаем, мы заключаем, что даже в электростатике энергия действительно запасается в полях.

Когда есть распределение зарядов$q_1,\dots,q_n$в точках$\vec{r}_1,\dots,\vec{r}_n$, энергия системы определяется суммой энергии каждой частицы из-за ее взаимодействия с другими, деленной на два, поскольку каждое взаимодействие считается дважды, т.е.

$$U=\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i }}^{n}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_iq_j}{\|\vec{r}_i-\vec{r}_j\|}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nq_i \phi_i(\vec{r}_i)$$ куда $\phi_i(\vec{r}_i)$это потенциал на $\vec{r}_i$за счет всех сборов, кроме $q_i$. Если перейти к непрерывному распределению заряда с плотностью заряда $\rho(\vec{r})$, суммирование заменяется интегрированием по «бесконечно малым кускам заряда». $dq=\rho(\vec{r}) \textrm{d}V$. Тогда энергия системы равна $$U=\frac{1}{2}\int\limits_V \rho(\vec{r})\phi(\vec{r})\textrm{d}V$$ Теперь по закону Гаусса для электричества $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$у нас есть $$U=\frac{1}{2}\int\limits_V \epsilon_0\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}(\vec{r})\right)\phi(\vec{r})\textrm{d}V$$ Вспоминая векторную идентичность $\vec{\nabla}\cdot\left(f\vec{F}\right)=f(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})+\vec{F}\cdot(\vec{\nabla}f)$у нас есть $$U=\frac{1}{2}\epsilon_0\left[\int\limits_V \vec{\nabla}\cdot\left(\vec{E}(\vec{r})\phi(\vec{r})\right)\textrm{d}V-\int\limits_V \vec{E}(\vec{r})\cdot\vec{\nabla}\phi(\vec{r})\textrm{d}V\right]$$ Заменив первый интеграл по объему $V$за его границу $\partial V$с помощью теоремы о расходимости, которая утверждает $\int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\textrm{d}V=\oint_{\partial V}\vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{S}$и, вспомнив определение потенциала $-\vec{\nabla}\phi=\vec{E}$мы получаем $$U=\frac{1}{2}\epsilon_0\left[\oint\limits_{\partial V} \vec{E}(\vec{r})\phi(\vec{r})\textrm{d}\vec{S}+\int\limits_V \vec{E}(\vec{r})\cdot\vec{E}(\vec{r})\textrm{d}V\right]$$ Теперь мы можем выбрать объем интегрирования $V$быть всем пространством. затем $\partial V$был бы бесконечно далек от всех зарядов и, по соглашению, потенциал $\phi$исчезнет, ​​заставив исчезнуть первый интеграл. Тогда у нас останется следующее выражение для энергии системы $$U=\frac{1}{2}\epsilon_0\int\limits_V \|\vec{E}(\vec{r})\|^2\textrm{d}V$$ Из этого выражения следует, что плотность энергии $\Upsilon$в $\vec{r}$дан кем-то $$\Upsilon(\vec{r})=\frac{1}{2}\epsilon_0\|\vec{E}(\vec{r})\|^2$$ Теперь мы можем спросить, «где» находится эта энергия. Обратите внимание, что мы получили его как плотность энергии полной энергии зарядов в нашей Вселенной. Тем не менее, эта плотность энергии кажется распределенной даже там, где заряды могут отсутствовать. Итак, мы задаем вопрос, принадлежит ли энергия зарядовой конфигурации или электрическому полю? С точки зрения электростатики оба эквивалентны, и в нашем последнем уравнении мы склонны думать об электрическом поле как о переносчике энергии. В электромагнетизме это необходимо, так как электрическое поле может существовать и распространяться совершенно независимо от исходных зарядов в виде электромагнитных волн, например света, который, очевидно, несет энергию, так как большая часть энергии на планете Земля переносится из Солнце в этом виде. Любой другой вопрос, пожалуйста, спросите! Я'

Да,$\epsilon \vec E \cdot \vec E$- электростатическая часть плотности энергии, переносимая полем. В плотность энергии электромагнитного поля также входит магнитный член:

$$\rho_{E,B} = \frac{\epsilon}{2} |\vec E|^2 + \frac{1}{2\mu} |\vec B|^2$$ и эта формула верна даже для произвольных переменных электромагнитных полей, зависящих от времени. Когда вы упомянули плотность энергии $$\frac 12 \int \rho_{\rm charge} \Phi \,\,dV,$$ следует отметить, что нужно быть осторожным, чтобы избежать двойного счета. Когда мы предполагаем, что энергия переносится электромагнитным полем, мы больше не должны добавлять $\rho_Q\cdot \Phi$термин отдельно, потому что мы могли бы иметь двойной счет. Однако в некоторых отношениях их нужно разделить и добавить оба.

Во всяком случае,$\epsilon|E|^2$так или иначе, это член формулы для полной энергии. Это важно знать, потому что сохраняется только полная энергия со всеми членами, которые должны быть.

Можно интерпретировать энергию$\int dV\,\,\epsilon|E|^2/2$как работу, так же, как и для энергии взаимодействия упомянутых вами зарядов. Это работа, необходимая для изменения электростатического поля от ситуации$\vec E=0$к заданной конфигурации$\vec E$. Энергия может быть дана как интеграл работы,

$$E_{\rm energy} = \int dV \int dt\, \vec E\cdot \frac{d\vec D}{dt},\qquad \vec D \equiv \epsilon \vec E$$ Обратите внимание, что нет $1/2$в формуле выше; это происходит от интеграции. Таким образом, чем больше поле в данной точке, тем труднее увеличить его значение там.