Интерпретация члена тензора напряжений Максвелла

когда нет$\vec B$поле, плотность силы$\vec f =\rho\vec E +\vec J \times \vec B$равно$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E.$

А если тоже нет$\vec B$поле во временном интервале, то$\vec \nabla \times \vec E=\vec 0.$Эта последняя часть важна, потому что скорость изменения$\vec B$важно. Но когда$\vec \nabla \times \vec E$равен нулю, мы получаем, что$\epsilon_0\vec E \times \left(\vec \nabla \times \vec E \right)=\vec 0$а потом$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E$"="$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E-\epsilon_0\vec E \times \left(\vec \nabla \times \vec E \right).$

Что равно$\epsilon_0\vec \nabla \cdot \left( \vec E \otimes \vec E -(E^2/2)\mathbb{1}\right).$

Короче говоря, тензор энергии напряжения — это нечто, расхождение которого должно давать изменение плотности импульса. Компонент xx — это всего лишь один из трех членов, производная от которых должна быть получена от дивергенции, чтобы получить плотность силы. Сосредоточиться на одном компоненте нет смысла.

Когда у тебя есть$\vec \nabla \cdot \vec J =-\partial \rho / \partial t$вы знаете, что все три компонента$\vec J$необходимы, чтобы получить$\rho$сходным образом$T_{xx}, T_{yx}$и$T_{zx}$все нужно для получения$f_x.$Нет причин заострять внимание на$T_{xx}$изолированно, потому что если$\mathscr P_x$- плотность импульса x, тогда$\partial_x T_{xx}+\partial_y T_{yx}+\partial_z T_{zx}=\partial_t\mathscr P_x.$

Как только$\vec J$измеряет поток заряда, так же$T_{xx}\hat x+T_{yx}\hat y+T_{zx}\hat z$измерить поток$\mathscr P_x.$

Вы просили способ увидеть это физически. Так что обратите внимание, что$T_{xx}$измеряет поток$\mathscr P_x$в направлении х. Утверждать, что это не зависит от$E_y$или$E_z$довольно дикое (и неправильное) утверждение. Все, что мы действительно знаем о напряжении электромагнитного поля, это то, что его дивергенция есть скорость изменения плотности импульса во времени. Когда в интервале времени нет магнитного поля, единственным импульсом является механический импульс, поэтому нам нужно, чтобы дивергенция была плотностью силы. Но плотность силы включает в себя плотность заряда, которая зависит от дивергенции$\vec E$так что зависит от всех трех компонентов$\vec E.$Таким образом, мы полностью ожидаем, что все три компонента$\vec E$имеет значения.

Итак, мы хотим, чтобы дивергенция была плотностью силы. Дивергенция даст части, равные$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E$потому что так всегда. И это даст части, которые случайно равны нулю, просто потому, что ротор электрического поля должен быть равен нулю, потому что вы настояли на рассмотрении случая без магнитного поля.

Так что считайте$T_{xx}=(E_{xx}^2-E_{yy}^2-E_{zz}^2)/2$а также$T_{yx}=E_yE_x$и$T_{yx}=E_zE_x$тогда дивергенция дает термин типа$\rho E_x$но также дает такие термины, как$-E_y\partial_xE_y$и$-E_z\partial_xE_z$(из$T_{xx}$термин) и такие термины, как$E_y\partial_yE_x$и$E_z\partial_zE_x$(от$T_{yx}$и$T_{zx}$). Итак, нам понадобились термины в$T_{yx}$и$T_{zx}$чтобы получить полную плотность заряда (поскольку только эти члены получают частичные значения по y и z), но тогда нам нужны дополнительные члены в$T_{xx}$для противодействия появившимся терминам. В нашем примере не то чтобы завиток$\vec E$ноль заставляет их точно отменить.

Так как каждый термин$T_{xx},$ $T_{yx},$и$T_{zx}$имеет физический смысл (поток$\mathscr P_x$в направлениях x, y и z соответственно), физический смысл именно в этом. У нас должен быть некоторый поток$\mathscr P_x$в направлении х, чтобы компенсировать поток$\mathscr P_x$в направлениях y и z, так что чистый поток точно соответствует передаче механического импульса.