Когда я читаю учебник по математике, я обычно пропускаю большинство упражнений. Вообще я не люблю упражнения, особенно искусственные. Вместо этого я концентрируюсь на понимании доказательств теорем, утверждений, лемм и т. д.
Иногда я пытаюсь доказать теорему до того, как прочитаю доказательство. Иногда я пытаюсь найти другое доказательство. Иногда я пытаюсь найти пример или контрпример. Иногда я пытаюсь обобщить теорему. Иногда я задаю вопрос и пытаюсь на него ответить.
Я думаю, что это хорошие «упражнения» для меня.
РЕДАКТИРОВАТЬ То, что я считаю очень хорошим «упражнением», выглядит следующим образом:
(1) Попробуйте доказать теорему, прежде чем читать доказательство.
(2) Если у вас нет идеи доказать это, взгляните немного на доказательство.
(3) Продолжайте пытаться доказать это.
(4) Если вы застряли, посмотрите немного на доказательство.
(5) Повторяйте (3) и (4), пока не найдете доказательство.
РЕДАКТИРОВАТЬ Другой метод, который я рекомендую вместо выполнения упражнений типа «домашняя работа»: попробуйте написать «учебник» по этому вопросу. Вам не нужно писать настоящий. Я пытался сделать это по теории Галуа. На самом деле я разместил «конспекты лекций» по теории Галуа на математическом интернет-форуме. Я считаю, что мои знания и навыки по этому вопросу значительно расширились.
Например, я обнаружил это , когда писал «конспекты лекций» по теории Галуа. Я мог бы также доказать, что любая проконечная группа является группой Галуа. Этот факт упоминается в алгебраической теории чисел Нойкирха. Позже я обнаружил, что у Бурбаки эта задача была упражнением. Но я не понимаю его намека. Позже я обнаружил, что кто-то написал статью по этой проблеме. Во время курса я сделал и другие маленькие «открытия». Я планировал написать «конспект лекции» по теории Галуа Гротендика. Это привлекательный план, но он еще не запущен.
РЕДАКТИРОВАТЬ Если вы хотите иметь упражнения, почему бы не сделать их самостоятельно? Когда вы изучаете предмет, у вас, естественно, возникают вопросы. Некоторые из них могут быть хорошими упражнениями. По крайней мере, у вас есть мотивация, которой нет у других. Это не домашнее задание. Например, я придумал следующий вопрос, когда изучал алгебраическую геометрию. Я обнаружил, что это хорошая проблема.
Позволять быть полем. Позволять — конечно порожденная коммутативная алгебра над . Позволять . Определять .
Как я уже писал, поиск примеров или контрпримеров тоже может быть хорошим упражнением. Например, это хорошее упражнение по теории алгебр с делением.
РЕДАКТИРОВАТЬ Позвольте мне показать вам еще один пример самоупражнений. Я столкнулся со следующей проблемой, когда писал «конспект лекции» по теории Галуа.
Позволять быть полем. Позволять быть сепарабельным алгебраическим замыканием . Позволять быть группой Галуа .
Позволять — конечномерная алгебра над . Если изоморфно произведению полей, каждое из которых сепарабельно над , называется конечной этальной алгеброй. Позволять — категория конечной этальной алгебры над .
Позволять быть конечным множеством. Предполагать действует на непрерывно. называется конечным -набор. Позволять быть категорией конечных -наборы.
Затем является антиэквивалентным .
Это нульмерная версия основной теоремы теории Галуа Гротендика. Вы можете найти доказательство в другом месте, но я рекомендую вам доказать это самостоятельно. Это несложно и является хорошим упражнением в теории Галуа. Подсказка : уменьшите это до случая, когда является конечным сепарабельным расширением и X является конечным транзитивным -набор.
РЕДАКТИРОВАТЬ Если вы считаете, что это слишком широкий вопрос, вы можете добавить подходящие условия. Это мягкий вопрос.
Если ваша цель — стать математиком-исследователем, важно выполнять упражнения. Конечно, найдутся редкие люди, которые смогут пропускать упражнения без ущерба для своего развития, но (и это я говорю по опыту примерно двадцатилетнего обучения исследовательской математике) такие люди действительно редки.
Другие виды упражнений, которые вы описываете, тоже хороши, и вы тоже должны их делать!
Смысл выполнения комплексных упражнений состоит в том, чтобы попрактиковаться в использовании определенных техник, чтобы вы могли понять, как и когда их использовать, когда вы сталкиваетесь с техническими препятствиями в своем исследовании.
В моей области есть две книги, упражнения в которых я обычно рекомендую своим студентам, — это книга Хартсхорна по алгебраической геометрии и книга Сильвермана по эллиптическим кривым . Упражнения в конце Касселя и Фролича тоже хороши.
Atiyah and MacDonald также известен своими упражнениями.
Один из возможных подходов (хотя и не рекомендуемый для всех) состоит в том, чтобы отложить выполнение упражнений, если они кажутся вам слишком сложными (или слишком трудоемкими, но обычно это эквивалентно слишком сложным), но вернуться к ним позже, когда вы почувствуете, что вам не хватает сил. лучше понять предмет. Однако, если по возвращении вы по-прежнему не можете довольно легко решить стандартные упражнения по теме, которую, по вашему мнению, вы хорошо знаете, вы, вероятно, не знаете эту тему так хорошо, как вам кажется.
Если ваша цель не состоит в том, чтобы стать математиком-исследователем, тогда понимание, вероятно, имеет другое значение и цель, и тогда ваш вопрос, возможно, будет иметь другой ответ, который я не тот человек, чтобы давать его.
Зависит от учебника, я полагаю. Некоторые учебники вводят в упражнения много материала, не развитого в основном тексте.
Я думаю, что самый важный момент в математике — думать о предмете в течение длительного периода времени. Если вы думаете о математике, то вы часто будете развивать интуицию, что очень важно. Конечно, если вы думаете о чем-то в течение длительного времени, то и запоминание материала улучшается.
В конечном счете, дело в том, что люди обычно больше узнают, делая что-то новое (сравните активное обучение с пассивным). Конечно, из каждого правила есть исключения, и вы лучше всех понимаете свои сильные и слабые стороны. Важным моментом является выявление своих слабых сторон и усердная работа над ними посредством сочетания активного мышления и решения проблем.
Конечно, это полностью субъективно и зависит от вашего интеллекта и памяти. Я подозреваю, что большинство людей на этом сайте хорошо разбираются в обеих областях, по крайней мере, в логике/математике.
Понимание теорем и работа с ними, как вы объяснили, — очень хороший способ понять материал, особенно если вы можете помнить об этом, когда это необходимо. Упражнения обычно повторяются, но также могут дать вам некоторый контекст, в котором вы можете/должны применять теоремы.
Таким образом, выполнение упражнений не является обязательным, но выполнение некоторых из них является хорошей идеей, чтобы подтвердить, что вы понимаете материал, и помочь запомнить этот материал. Тем не менее, я бы не советовал выполнять первые несколько упражнений (в большинстве учебников они самые простые), а выбрать несколько посередине или те, ответ или способ решения которых вам не очевидны. Обычно те, что ближе к концу раздела, либо жесткие, либо многословные, либо и то, и другое. Выполнение некоторых из них, возможно, того стоит, но некоторые могут быть просто длинными и разбросанными и, в конечном счете, не стоят времени.
Это всего лишь мой опыт работы с учебниками по математике, но я дошел только до уровня бакалавриата, поэтому насколько это верно для более высоких уровней, я не знаю.
абсолютно, вы не можете по-настоящему сказать, что понимаете что-то, пока не проработаете это
Я с ОП по этому поводу, я тоже пропускаю упражнения.
Вот логика: истинное понимание математики заключается в творческом подходе к ее приложениям, а не только к материалу как таковому.
Упражнения по определению подавляют творчество, представляя песочницу для размышлений.
Это немного похоже на Рокки 3: вы учитесь своему ремеслу, работая в тренажерном зале или поднимая бревна в лесу?
...и еще одно, я считаю, что следование примерам в книгах ведет к дегенеративной математике. Они увековечивают определенные стили мышления о проблемах.
Антониквас
Зев Чонолес
Ранкея
Макото Като
Макото Като
Ранкея
Макото Като
Дилип Сарвате
Макото Като
Макото Като
000
000
Макото Като
Макото Като
000