Что такое синтетическая геометрия?

В зависимости от полученного вами образования разница, скорее всего, будет примерно такой же, как между школьными курсами алгебры и геометрии. В первом курсе геометрии вы обычно получаете список аксиом для точек и линий (отрезок прямой можно провести между любыми двумя точками и т. д.). Затем вы создаете доказательства свойств фигур на плоскости, используя эти аксиомы, никогда не записывая любые алгебраические уравнения. В частности, вы никогда не используете координаты на плоскости при выполнении такой геометрии, которая называется синтетической.

Древние греки подняли синтетическую геометрию на плоскости и в трехмерном пространстве на удивительный уровень, гораздо дальше, чем кто-либо знает сегодня. Например, они почти полностью поняли «конические сечения», т. е. параболы, эллипсы (окружности) и гиперболы. Но сегодня вы обычно думаете о параболе, например, как о графике уравнения$y=ax^2+bx+c$. Именно это уравнение, которое требует выбора пары координатных осей на плоскости и единичной длины на каждой оси, — это то, что использует аналитическая геометрия, чего избегает синтетическая геометрия. Синтетическое и аналитическое различие все еще очень заметно в современных геометрических исследованиях, даже несмотря на то, что конкретные вопросы, представляющие интерес, резко изменились.