Последствия для математики правил человеческого письма

Когда вы научитесь читать и писать, вы узнаете, что идеи текут по странице слева направо (или справа налево, а иногда и сверху вниз, в зависимости от культуры). Когда вы начинаете изучать математику, вы видите, что она следует той же схеме. Уравнение вроде 1 + 2 "=" 3 читается слева направо (или справа налево) и следует типичной форме, которую вы используете для записи чего-либо еще. Эта горизонтально расположенная условность следует за нами в высшей математике, особенно в алгебре. Умножение в группах записывается горизонтально, и существует вечная путаница, возникающая из-за разницы между правым умножением и левым умножением. Точные последовательности расположены горизонтально. И т. д. Конечно, не вся математика закодирована в горизонтально расположенных алгебраических выражениях, но это, безусловно, является основой для большого количества знаний.

Мне любопытно, есть ли какие-либо мысли, которые исследуют, как наша математика формируется или ограничивается нашими соглашениями о расположении идей по горизонтали на странице. Возможно, есть даже ограничения, основанные только на том факте, что мы вообще что-то пишем на странице! И, возможно, это тот случай, когда «вы не можете знать то, чего не знаете». Но было бы интересно собрать примеры из истории математики, когда отказ от этих условностей мышления приводил к большим достижениям.

Я думаю, Баэз и другие писали об этом, особенно в контексте планарных алгебр и их родственников, но я не могу найти источники, которые я помню на данный момент.
Я задал связанный вопрос некоторое время назад, что я хочу связать с этим. Более того, у меня есть некоторые идеи по этому поводу, на которые я скоро дам ответ ^_^
Существует большое количество исследований в области философии и социологии математики. Я не думаю, что математика действительно следует горизонтальным правилам человеческого письма: в обычном письме нет ничего похожего на традиционные обозначения матриц, интегралов и производных.
(1/2) Не о написании по горизонтали/вертикали, а о порядке слов. Я преподаю математику в Южной Корее, и мой коллега по философии науки часто говорит, что в корейском языке порядок слов отличается от английского и других основных европейских языков, что затрудняет изучение математики молодыми корейцами. Например, «1 + 2 = 3» можно прочитать на английском языке как «1 плюс 2 равно 3» (порядок Подлежащее — Глагол — Дополнение); по его словам, для корейцев было бы более естественно писать это тождество как «1 + 2 3 =» (Глагол подлежащего объекта).
(2/2) Люди могут научиться свободно владеть иностранными языками и могут думать непосредственно на иностранных языках. Точно так же корейцы быстро привыкают к стандартной математической письменной форме (и преуспевают в этом), поэтому я не уверен, что это оказывает влияние.
Я не вижу, как запись по горизонтали или нет что-то изменит. Вертикальных систем письма достаточно. Если бы вместо этого алгебра развилась из одного из них, мы бы просто перепутали умножение вверх и вниз. Вам нужно было бы писать в разные стороны одновременно, чтобы внести какие-либо изменения, но тогда вы теряете возможность говорить об этом, потому что время линейно, и вам придется снова указывать порядок. Мы делаем это, например, в геометрии или для поиска диаграмм, но в большинстве формул кажется, что это не стоит недостатков.
Похоже, этот вопрос касается своего рода математического аналога «гипотезы Сепира-Ворфа» из лингвистики.
О да! @JairTaylor Я не слышал об этом раньше, но это точно отражает то, что я пытаюсь понять.
Вы упоминаете «Уравнение типа 1 + 2 "=" 3 читается слева направо (или справа налево)» и переходят на следующий уровень абстракции. Преподавая, я усвоил, что уже здесь есть помеха. Я получаю учеников старших классов, которые настаивают на том, что
( Икс − 1 ) ⋅ ( Икс − 2 ) "=" Икс 2 − 3 Икс + 2
имеет другое значение, чем
Икс 2 − 3 Икс + 2 "=" ( Икс − 1 ) ⋅ ( Икс − 2 )
Первый, мол, "умножающий" и "легкий", второй "разлагающий" и "жесткий". Я хочу сказать, что уже осознание того, что математически две строки полностью эквивалентны, — это то, для чего нужно выйти за рамки обычных правил написания.

Ответы (1)

Как упомянул Ной в комментариях, Джон Баэз и другие теоретики категорий думали об «альтернативных системах письма», которые могут упростить определенные алгебраические вычисления. Обычно это происходит потому, что на самом деле под поверхностью происходит некоторая «высокомерная» алгебра ( обсуждение см. здесь ).

В качестве одного конкретного примера вы видели «двухмерное» доказательство Экмана-Хилтона? Идея состоит в том, что вместо двух умножений ⋆ и ∘ , вместо этого мы думаем о них как о «горизонтальном» и «вертикальном» умножении. Вы можете найти доказательство, на которое я ссылаюсь, на странице в Википедии , и вы, вероятно, согласитесь, что это лучший способ сделать что-то.

Какое отношение это имеет к «алгебре высших измерений»? Ответ зависит от вашего желудка на абстрактную чепуху.

Возможно, наиболее конкретно этот аргумент показывает, что высшие гомотопические группы топологического пространства абелевы. Эти высшие гомотопические группы должны иметь по крайней мере два измерения для перемещения (именно это и делает их «высшими»), и аргумент Экмана-Хилтона говорит о том, что мы можем перетасовать эти две ячейки, чтобы получить коммутативность! Очевидно, что это двумерное явление, и доказательство становится намного проще, если мы позволим «двумерным» алгебраическим обозначениям продемонстрировать его. Вы можете увидеть больше в (характерно отличном) ответе Qiaochu здесь .

Менее конкретно, это вычисление выглядит лучше всего с «двухмерной алгеброй», потому что это действительно вычисление, происходящее внутри 2-категории. В общем, вычисления внутри n-категорий лучше всего представляются с помощью «n-мерных операций». Например, когда мы рисуем коммутативные диаграммы, мы часто имеем гомотопии «высшего измерения», свидетельствующие о коммутативности. Таким образом, у нас может быть такой куб, о котором вы должны думать только как о вершинах и ребрах (то есть только о 0- и 1-мерной структуре).

куб

затем знание того, что грани коммутируют, равнозначно «заполнению» граней 2d-квадратами, и показ того, что вся коробка коммутирует, заполняет полученный (полый) куб трехмерной ячейкой.

Все аргументы такого рода относятся к «более высокому измерению», и это действительно их естественная установка.

На самом деле, поскольку теоретикам категорий приходится выполнять много вычислений с коммутативными диаграммами (которые, естественно, живут в высших измерениях), существует довольно богатая история алгебраических манипуляций, которые хорошо работают с этими многомерными структурами. См. , например, диаграммы строк и операды .

Надеюсь, это поможет ^_^

Диаграммы струн являются отличным примером — есть замечательная серия видео, которые объясняют их, не требуя каких-либо причудливых знаний теории категорий: youtube.com/playlist?list=PL50ABC4792BD0A086 .
«Теория математической записи в целочисленном числе измерений хорошо изучена…»
Последствия для математики правил человеческого письма
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v