Несколько простых вопросов от человека, который только начал самостоятельно изучать математику

Слишком долго для комментария, но не совсем хороший ответ, ИМО — я оставлю это там, потому что это вроде как мои пять копеек, и пусть другие решают.

Комментарий @GReyes уместен (хотел бы я больше голосовать за него). Основания твердые ; аксиоматическая теория множеств трудна . Он очень абстрактный, сухой, в нем много формализма, и в некоторых моментах он может стать своего рода «мета». Отсюда большая трудность придумать доказательства. (Однако некоторые наивные и очень простые теории множеств — манипулирование пересечениями, воссоединениями, наборами мощности, инъекциями, сюръекциями... — могут быть важными и интересными.)

Линейная алгебра, реальный анализ, с другой стороны, гораздо более податливые темы, с более легкой интуицией и гораздо лучше подходят для обучения математике , то есть доказательству. Это все еще обычно не просто узнать самостоятельно.

Насчет доказательств… ну, чем больше вы практикуетесь (в хорошей книге должны быть упражнения, где вы что-то доказываете — вы также можете попробовать и переделать доказательство теоремы, доказанной автором, не пользуясь книгой — вы можете попытаться найти контрпримеры к посмотрите, все ли предположения необходимы), тем лучше у вас получится. То, что на первый взгляд может показаться умопомрачительным трюком, становится важной идеей, которую вы знаете и можете использовать самостоятельно.

Это не происходит в одночасье! Для предметов, не слишком простых для вас, блестящие новые доказательства, блестящие новые теоремы, блестящие новые методы, блестящие новые инструменты будут медленно проникать в ваш разум, пока однажды вы не оглянетесь назад и не поймете: «О, теперь я понял» ( и вы несколько раз осознаю, что то, что когда-то казалось страшным, уже не так уж и страшно). И вы посмотрите на все эти сложные доказательства, которые вы читали, изучали и над которыми потрудились, и поймете, что «теперь это действительно имеет смысл».

(Подумайте об этом как о большом индивидуальном школьном проекте, который вы должны сделать самостоятельно. Есть работа, проблемы, вещи, которые нужно решить, детали, которые вы пересматриваете, пока они, наконец, не сработают, и, в конце концов, вы оглядываетесь назад и действительно понимаете все, что вы сделали).

Также помните, что на обдумывание всех этих идей ушло много времени. У вас есть огромное преимущество в том, что вас направляют в плодотворное направление.

Я начал изучать аксиоматическую теорию множеств и математическую логику, и я должен сказать, что аксиоматическая теория множеств чертовски сложна, особенно потому, что в ней вообще нет никаких вычислений (к которым я привык еще со школы и колледжа) и все сводится к доказательству. теоремы над теоремами.

Насколько мне известно, переход от вычислений к доказательствам — это глубокое изменение мышления. При вычислениях вы используете методы вычислений, изобретенные математиками и доказавшие свою правильность. Теперь вам нужно сделать это самостоятельно. Доказательство требует изучения нового языка, который дальше от естественных языков, чем они друг от друга.

Вы правы в том, что вычисления являются частным случаем доказательств.

Как я могу научиться писать эти сложные доказательства? Я нашел пару книг на Амазоне, например, как это доказать, но они учат таким методам, как доказательства от противного, прямые доказательства и т. д., используя простые примеры, и они не очень помогают, так как иногда для доказательства некоторых теорем вы нужно придумать какие-то «сумасшедшие» трюки, чтобы сделать это... так что очевидный ответ на этот вопрос: «много практиковаться», но как?

Я обнаружил, что никто не знает другого метода, который вы уже описали. После прочтения книги по практической логике мы просто читаем книги по конкретным предметам. Если вам тяжело изучать конкретные предметы, возможно, вам нужно немного больше заниматься практической логикой. Есть и другие книги, но обычно в их названии нет слова «логика», скорее они называются «введение в высшую математику», «основы» или даже «дискретная математика».

Для практики написания корректуры некоторые ветви могут быть проще, чем другие. Анализ конечно сложный. С линейной алгеброй все в порядке, но она требует множества предпосылок, если вы подходите к ней строго. Использование действительных чисел распространено в линейной алгебре, но что такое действительное число? Это определяется в анализах. Системы счисления, теория чисел, комбинаторика, теория графов должны быть проще. Например, комбинаторика занимается конечными множествами, поэтому вы даже не работаете с бесконечными множествами, а любой невырожденный интервал действительных чисел бесконечен и несчетен. Анализ и линейная алгебра могут показаться проще, потому что они практичны, но их практичность не поможет, когда вы будете доказывать свои утверждения. На самом деле анализ просуществовал без реального определения действительного числа 200 лет, настолько это было тяжело.

Хотя существует четкий, формализованный метод проверки правильности доказательства, изобретение доказательства требует творческого подхода. Это как писать песни. Вы изучаете песни, написанные прошлыми поколениями, и пытаетесь написать свои собственные. TBH, были математики (Поля, Адамар, Пуанкаре), которые изучали математическое творчество. Эти исследования носят скорее философский характер. Я считаю, что опыт более полезен, чем философия, и эти исследования не будут полезны без опыта.

Метод, который я могу порекомендовать, — это размышление о примерах и контрпримерах. Если в теореме утверждается, что каждое P есть Q, попробуйте подумать о примерах, которые являются Q, но не P. Другой метод, который я могу порекомендовать, — определить, является ли утверждение истинным или ложным. Это упражнение более реалистично. Когда вы открываете математические знания, вы не знаете заранее, истинно или ложно утверждение. Решение требует большого опыта.

Должен ли я пытаться доказать теорему так же, как ее доказал автор? Действительно ли этот подход помогает научиться придумывать новые доказательства?

Я твердо верю, что не следует заучивать пруфы, как песни. Попробуйте сами придумать доказательство не только в упражнениях, но и для фундаментальных теорем. Даже если вам это не удалось, постарайтесь перефразировать приведенное доказательство в лучшую сторону. Это позволяет вам проявить творческий подход, а также помогает запомнить доказательство. Фактически, фундаментальная теорема нередко имеет более одного доказательства. Вы можете обнаружить это, сравнив учебники по одному и тому же предмету.

Изучение теории множеств и математической логики — это шаг в правильном направлении, но не заходите слишком далеко. Книги, посвященные этим предметам, содержат специализированные темы, такие как трансфинитные ординалы в теории множеств. Вам не понадобятся эти темы на этом уровне, и из-за этих тем эти книги имеют репутацию сложных. Фундаменты не твердые. Если бы было иначе, то как бы многие могли поверхностно изучить основы и быть в состоянии доказать? Из логики достаточно правил вывода. Я рекомендую естественную дедукцию. Из теории множеств достаточно так называемой элементарной теории множеств, и под этим я подразумеваю пересечение множеств, объединение, степенное множество, функцию, отношение, математическую индукцию по натуральным числам, бесконечную мощность. Теория моделей может быть полезна в абстрактной алгебре.

Вместо этого я рекомендую ознакомиться с абстрактной алгеброй и абстрактной математикой в ​​целом. Под абстрактной математикой я подразумеваю структуры в смысле Бурбаки. Их популярность значительно возросла с момента их появления 100–150 лет назад, и они проникли почти во все разделы математики. Это тема, которую должен знать каждый, и поэтому ее можно назвать фундаментальной. На самом деле линейная алгебра — это ветвь абстрактной алгебры.