О том, что сила прямо пропорциональна скорости изменения импульса [дубликат]

Второй закон Ньютона определяет силу. Вот что такое сила. Если объект ускоряется, мы говорим, что на него действует сила. Но в таком виде его полезность не очевидна. Чтобы понять, почему это определение полезно ( чрезвычайно ), нам нужно иметь какое-то физическое явление, вызывающее ускорение. К счастью, есть одно простое — гравитация.

Во времена Ньютона законы Кеплера были выведены эмпирически из астрономических наблюдений Тихо Браге. Гениальность Ньютона заключалась в том, чтобы вычислить основополагающую объединяющую структуру этих законов: дифференциальное уравнение между двумя массами, которое связывает ускорение (вторая производная смещения по времени) с массами и их относительным смещением.

$$\frac{m_1m_2}{r^2}\propto m_{1}\frac{d^2r}{dt^2}$$

Таким образом, источником ускорения является гравитация, и оно определяется дифференциальным уравнением второго порядка. Природа имеет эту базовую структуру, и именно поэтому это определение количества, называемого силой, полезно.

Закон о силе можно рассматривать скорее как определение, чем как закон как таковой. Какой была бы сила без уравнения, кроме расплывчатого описания?

Так или иначе, сила должна быть некоторой величиной, которая говорит вам, как взаимодействие между телами влияет на его движение. Так как же построить хорошее, полезное определение такой величины? Из экспериментов Галилея Ньютон уже имел представление о первом законе механики. То есть взаимодействие между телами должно влиять не на саму скорость, а на изменение скорости. Точно так же казалось, что физика везде более или менее одинакова, поэтому сила также не должна зависеть от положения тела.

В качестве первой попытки сила может быть просто ускорением$F=a$. Но это не годится. Каждый знает, что чем тяжелее объект, тем больше силы вам нужно приложить, где «тяжелый» и «сила» теперь используются в его повседневном значении.

Первой попыткой включить свойства объектов было бы введение некоторого количества$m$, что необходимо определить от объекта к объекту и определить силу как

$$F=f(m,a),$$ где$f$является функцией, подлежащей определению.

Первое, что я могу сделать, это соединить тела вместе и посмотреть, как поведет себя функция. Я делаю какое-то устройство, которое будет производить силу. Я не знаю, насколько она велика, потому что я еще не определил силу, но если механизм тот же, то разумно ожидать, что прилагаемая сила должна быть одинаковой (например, я могу использовать ту же пружину для каждого эксперимента). Быстро я обнаружил, что если я использую тот же механизм на объекте с массой$m_1$, затем на мессе$m_2$а затем на конкатенированном объекте с массой$m$, тогда я получу:

$$a_1/m_1=a_2/m_2=a/(m_1+m_2).$$ Это верно для любого механизма, который мы используем, поэтому мы уже можем видеть аддитивность массы и то, что она выполняется. $$F=f(ma).$$ Теперь мы можем просто написать$F=ma$, потому что мы всегда можем переопределить$F$принимая$F\rightarrow f^{-1}(F)$. Однако такое определение может оказаться не совсем полезным. Мы также хотели бы знать, что если мы удвоим наш механизм приложения силы (например, прикрепив объект к двум одинаковым пружинам вместо одной), то удвоится ли результирующее ускорение. И нам повезло, потому что эксперимент показывает, что так и будет.

Примечание. Последнее свойство на самом деле является семенем третьего закона Ньютона, так что совпадение не такое уж и странное.

Исаак Ньютон использовал эксперименты ( Как Ньютон открыл свой второй закон? ), чтобы выяснить связь между силой$F$и ускорение$a$. Из собранных им данных он сделал вывод, что$F$пропорциональна$a$, линейная зависимость. Любая пропорциональность имеет константу пропорциональности. Ньютон определил эту константу пропорциональности как инерционную массу.$m$. Поэтому,$F = ma$.

Ускорение$a$скорость изменения скорости$v$:$a = \frac{dv}{dt}$. Таким образом, у нас есть$F = m\frac{dv}{dt}$. Используя линейность производной,$F = \frac{d(mv)}{dt}$или$F = \frac{dp}{dt}$.

Итак, ответ на ваш вопрос заключается в том, что наблюдения за реальным миром привели к линейной зависимости. Вот как мы выяснили закон Кулона и т. д. Физика основана на наблюдениях/экспериментах, которые затем становятся аналогами математических аксиом.