Обладает ли классическая электродинамика симметрией U(1)U(1)U(1)? Если да, то как?

Question

Обладает ли классическая электродинамика симметрией U(1)U(1)U(1)? Если да, то как?

Физика
электромагнетизм
калибровочная инвариантность
квантовая электродинамика
классическая электродинамика

СРС

Квантовая электродинамика (КЭД) основана на $U(1)$ симметрия. Что происходит с этой симметрией в классической электродинамике?

Приложение В книгах по классической электродинамике, таких как Дж. Д. Джексон, не упоминается о $U(1)$ симметрия в контексте калибровочной инвариантности (насколько мне известно). Калибровочная инвариантность просто понимается в книгах по классической электродинамике как инвариантность уравнений Максвелла относительно $A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi(x)$ . Здесь нет никаких признаков U(1)-инвариантности. С другой стороны, когда на сцену выводится что-то вроде уравнения Дирака или поля Дирака, реализация преобразования U(1) ясна. Но это всегда обсуждается в книгах по квантовой теории поля. Похоже, что для понимания симметрии U(1) необходимо иметь поле Дирака. Итак, вопрос в том, можно ли понять существование симметрии U(1) в классической электродинамике, не вводя в картину поле Дирака?

Qмеханик

Да, это то же самое.

Любопытный Разум

Почему ты думаешь что-то о

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ симметрия квантовая? Обычно мы получаем квантовую теорию поля путем квантования классической, как, по-вашему, в этом процессе могут появиться новые симметрии? (В отличие от исчезновения, ср. квантовые аномалии)

Селена Рутли

Я предполагаю, что ваша трудность может заключаться в том, что вы только видели

U (1)

$U(1)$ симметрия, полученная из условия минимальной связи с уравнением Шрёдингера/Дирака ( т. е . условия калибровки ЭМ поля могут поглощать дополнительные члены, которые появляются в несвязанном уравнении Шрёдингера/Дирака, когда квантовое состояние

ψ

$\psi$ умножается на произвольный фазовый член

e^{i ϕ (r)}

$e^{i\,\phi(\mathbb{r})}$ )? Если это отвечает на риторический вопрос @ACuriousMind, то это дает нам ответ, который вам нужен.

СРС

@ACuriousMind Я не совсем думаю об аномалиях. Я спрашиваю, как мне убедить себя, что U(1)-инвариантность присутствует в классической электродинамике. В книгах по классической электродинамике, таких как книга Дж. Д. Джексона, нет упоминания о

U (1)

$U(1)$ симметрия в контексте калибровочной инвариантности (насколько мне известно). Эта симметрия упоминается только в книгах по КТП в контексте калибровочной инвариантности. Более того, в классической электродинамике поля являются реальными полями, где в качестве элементов

U (1)

$U(1)$ сложны, в общем.

СРС

@WetSavannaAnimalakaRodVance Да!

СРС

@ACuriousMind Когда мы говорим о калибровочной инвариантности в классической электродинамике, мы имеем в виду инвариантность уравнений Максвелла относительно

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} χ (x)

$A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi(x)$ . Исходя из этого, я не вижу там никаких признаков симметрии U(1). Конечно, я могу что-то упустить, но я не знаю, что. Без поля Дирака как здесь будет пониматься понятие симметрии U(1)?

Qмеханик

Комментарий к заголовку (v3): кажется, что ОП на самом деле спрашивает не о классическом и квантовом E&M, а скорее об E&M с материальными полями или без них. Обратите внимание, что поля материи также существуют классически, когда

ℏ = 0

$\hbar=0$ .

Ответы (2)

Обладает ли классическая электродинамика симметрией U(1)U(1)U(1)? Если да, то как?

Почему ты думаешь что-то о $\mathrm{U}(1)$ симметрия квантовая? Обычно мы получаем квантовую теорию поля путем квантования классической, как, по-вашему, в этом процессе могут появиться новые симметрии? (В отличие от исчезновения, ср. квантовые аномалии)
Я предполагаю, что ваша трудность может заключаться в том, что вы только видели $U(1)$ симметрия, полученная из условия минимальной связи с уравнением Шрёдингера/Дирака ( т. е . условия калибровки ЭМ поля могут поглощать дополнительные члены, которые появляются в несвязанном уравнении Шрёдингера/Дирака, когда квантовое состояние $\psi$ умножается на произвольный фазовый член $e^{i\,\phi(\mathbb{r})}$ )? Если это отвечает на риторический вопрос @ACuriousMind, то это дает нам ответ, который вам нужен.
@ACuriousMind Я не совсем думаю об аномалиях. Я спрашиваю, как мне убедить себя, что U(1)-инвариантность присутствует в классической электродинамике. В книгах по классической электродинамике, таких как книга Дж. Д. Джексона, нет упоминания о $U(1)$ симметрия в контексте калибровочной инвариантности (насколько мне известно). Эта симметрия упоминается только в книгах по КТП в контексте калибровочной инвариантности. Более того, в классической электродинамике поля являются реальными полями, где в качестве элементов $U(1)$ сложны, в общем.
@ACuriousMind Когда мы говорим о калибровочной инвариантности в классической электродинамике, мы имеем в виду инвариантность уравнений Максвелла относительно $A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi(x)$ . Исходя из этого, я не вижу там никаких признаков симметрии U(1). Конечно, я могу что-то упустить, но я не знаю, что. Без поля Дирака как здесь будет пониматься понятие симметрии U(1)?
Комментарий к заголовку (v3): кажется, что ОП на самом деле спрашивает не о классическом и квантовом E&M, а скорее об E&M с материальными полями или без них. Обратите внимание, что поля материи также существуют классически, когда $\hbar=0$ .

Любопытный Разум · Answer 1

Бесплатный " $\mathrm{U}(1)$ Калибровочная теория никогда не может сказать, является ли калибровочная группа $\mathrm{U}(1)$ или $\mathbb{R}$ потому что единственное поле в теории, калибровочный потенциал $A$ , преобразуется как
$А \mapsto А + \partial_{мю} х,$ $A\mapsto A + \partial_\mu \chi,$ где $\chi$ — это просто функция с действительным знаком, а действительные числа — это алгебра Ли обоих $\mathrm{U}(1)$ и $\mathbb{R}$ . Это не классическое или квантовое свойство, вы просто не можете отличить. Так что, в некотором смысле, вопрос о том, имеет ли эта теория $\mathrm{U}(1)$ симметрия или нет не имеет значения - она имеет $\mathfrak{u}(1)$ симметрии, и нет осмысленного понятия группы симметрии .
Электромагнетизм, связанный с внешним сохраняющимся током, еще не может сказать, что такое калибровочная группа, поскольку ток калибровочно-инвариантен.
Электромагнетизм, связанный с другими полями , может сказать, что такое калибровочная группа, поскольку часть ее связи с другими полями определяет, как эти поля трансформируются при калибровочных преобразованиях. Там у нас есть выбор между (бесконечно малым) $\psi \mapsto \psi + \chi \psi$ и $\psi\mapsto \psi + \mathrm{i}\chi \psi$ , что приводит к конечным преобразованиям $\psi\mapsto \mathrm{e}^{\chi}\psi$ и $\psi\mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi}\psi$ , соответственно. Первый соответствует калибровочной группе $\mathbb{R}$ , последний к $\mathrm{U}(1)$ . Опять же, ничего из этого не является классическим или квантовым.

Причина, по которой вы, вероятно, думаете, что $\mathrm{U}(1)$ квантовой особенностью является то, что в квантовой теории поля гораздо более естественно, чем в классической теории поля, иметь комплекснозначные поля, но на самом деле мы можем рассматривать, например, классический электромагнетизм, связанный с классическим комплексным скалярным полем, и тогда мы также вынуждены указать калибровочная группа.

Если я правильно понял, вы говорите в пункте 1 своего ответа, что свободная калибровочная теория «U (1)» связана с однозначной алгеброй Ли, но не с однозначной группой Ли. Как вы уверены, что существует однозначная алгебра Ли? Как выглядит алгебра? Спасибо. @ACuriousMind
@SRS $\chi$ вещественнозначная, поэтому алгебра Ли $\mathfrak{u}(1)$ просто $\mathbb{R}$ с тривиальной скобкой Ли.
Хорошо. Под алгеброй Ли я понимаю алгебру образующих группы Ли. Если нет группы Ли, что значит иметь алгебру Ли? @ACuriousMind
@SRS Если подумать, я даже слышал, как люди говорят о «некомпактном $U(1)$ калибровочная симметрия», даже на этом сайте, что у меня в голове, потому что явно (ну, может быть!!) они имеют в виду $(\mathbb{R},\,+)$ - это ужасно запутанный способ говорить о вещах.
«... таким образом, вы видите, как составляются калибровочные преобразования: ...» Я думаю, что борюсь с этим. Может быть, потому, что я не привык так думать об алгебрах Ли. Все, что я могу понять, это то, что $\chi(x)$ является вещественнозначной функцией в классической ЭД и может жить $\mathbb{R}$ . В классической ЭД не ясно, что $\chi$ является параметром некоторой группы Ли. @WetSavannaAnimalakaRodVance
@SRS Алгебра Ли - это просто векторное пространство со скобкой Ли.
@WetSavannaAnimalakaRodVance Как я понимаю, такое преобразование, как $A\to A+\partial_\mu\chi$ имеет какое-либо отношение к скобке Ли. Это преобразование не является экспоненциальным (которым являются элементы группы Ли).
@SRS - Извините, я снова немного запутался здесь из-за того, что алгебра Ли и группа очень похожи из-за абелевости, кстати, я понимаю это сам, как не теоретик поля. в $A$ преобразования поля, вы можете видеть только алгебру — и они составляют в этом абелевом случае точно так же, как групповые операции, последние действуют на классическое или квантовое поле $\psi$ . Вы «видите» скобку Ли, когда составляете групповые операции, и она обычно отображается в таблице. $A$ компоненты с помощью теоремы Кэмпбелла-Бейкера-Хаусдорфа. Но здесь скобка Ли тривиальна -
- формула BCH завершается, и вы вообще не «видите» скобку Ли. Что позволяет легко совершить ошибку, которую я только что совершил, т.е. забыть, что на самом деле действует группа. Поскольку вы не видите, на что действует группа, в простых уравнениях Максвелла — только алгебра, вам нужно указать поле $\psi$ . Я также думаю, что большинство физиков назвали бы связанные уравнения Максвелла-Дирака (т. е. «первым квантованным» уравнением Дирака для частиц), в которых минимальная связь часто сначала обсуждается, классической системой, что, возможно, вносит здесь дополнительную путаницу .
Разве это не сделало бы группу симметрии группой всех градуируемых функций? $\chi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$ под дополнение?
@The_Sympathizer Да, если вы полностью не обременены подходами стандартной калибровочной теории, вы можете интерпретировать $\mathfrak{u}(1)$ симметрия алгебры как группы (абелева алгебра Ли — это группа по сложению!). Это зависит от того, что вы считаете «группой симметрии» в этой ситуации.

Лоуренс Б. Кроуэлл · Answer 2

Используя компактную запись дифференциальных форм, дифференциальный оператор $D=d+A$ является ковариантным оператором с калибровочным потенциалом $1$ -форма $A$ . Поле $2$ -форма $F~=~D\wedge D$ $=~(d~+~A)\wedge(d~+~A)$ . Это действует на единицу с $d\wedge d~=~0$ (граница границы равна 0) дает

Ф "=" г А + А \land А,

$F~=~dA~+~A\wedge A,$ The

U (1)

$U(1)$ группа просто означает, что

A \land A = 0

$A\wedge A~=~0$ . Мы, конечно, знаем, что

1

$1$ -форма во внешнем произведении на себя равна нулю. Однако, если есть внутренние индексы цвета или заряда, их может быть несколько. В

S U (2)

$SU(2)$ есть

3

$3$ калибровочное поле и в

S U (3)

$SU(3)$ есть

8

$8$ . С

U (1)

$U(1)$ существует только один калибровочный потенциал без индекса заряда.

Поле $2$ -форма имеет компоненты $F_{\mu\nu}$ и с некоторым усилием вы можете показать, что

Ф_{0 я} "=" \frac{\partial А_{я}}{\partial т} - \frac{\partial А_{0}}{\partial {Икс}^{я}} "=" Е_{я}

$F_{0i}~=~\frac{\partial A_i}{\partial t}~-~\frac{\partial A_0}{\partial x^i}~=~E_i$

Ф_{я Дж} "=" \frac{\partial А_{я}}{\partial {Икс}_{Дж}} - \frac{\partial А_{Дж}}{\partial {Икс}^{я}} \to Б_{я} "=" - (\nabla \times А)_{я} .

$F_{ij}~=~\frac{\partial A_i}{\partial x_j}~-~\frac{\partial A_j}{\partial x^i}~\rightarrow~B_i~=~-(\nabla\times A)_i.$ Это стандартные электромагнитные расчеты. Все было бы совсем иначе, если бы существовали нелинейные члены

A \land A

$A\wedge A$ включены. Итак, классический электромагнетизм абелев.

Но остается ли симметрия $U(1)$ или что-то вроде $\mathbb{R}$ ? Ведь вокруг нет комплексных чисел, меняется только потенциал.
Вздох! это действительно не проблема. Абелева симметрия $U(1)$ и $\pm 1$ веса соответствуют $\pm e$ обвинения. Кроме того, классические решения могут иметь $exp(-ikx + i\omega t)$ условия.
Я думаю, что @Javier беспокоится о топологии группы: $U(1)$ не совсем вся абелева симметрия: ее универсальное покрытие есть $(\mathbb{R}, +)$ . Конечно, они одинаковы на уровне алгебры: у меня такое ощущение, что и ОП, и Хавьер действительно хотят знать, как возникает компактность группы симметрии и какую роль она играет.
@LawrenceB.Crowell «Обозначение формы» мне не нравится. Можете ли вы быть немного либеральнее и добавить ответ, не используя их (если возможно)?
@LawrenceB.Crowell хороший обзор, но он не полностью отвечает на вопрос $ℝ$ против U(1), так как $ℝ$ также абелева и $A ∧ A$ было бы равно 0, если бы группа была $ℝ$ а не U(1).

Обладает ли классическая электродинамика симметрией U(1)U(1)U(1)? Если да, то как?

СРС

Qмеханик

Любопытный Разум

Селена Рутли

СРС

СРС

СРС

Qмеханик

Ответы (2)

Любопытный Разум

СРС

Любопытный Разум

СРС

Селена Рутли

СРС

Любопытный Разум

СРС

Селена Рутли

Селена Рутли

The_Sympathizer

Любопытный Разум

Лоуренс Б. Кроуэлл

Хавьер

Лоуренс Б. Кроуэлл

Селена Рутли

СРС

Александр

Почему магнитное поле «закручивается» вокруг элемента с током? [дубликат]

Сохраняющийся ток в скалярной КЭД

Энергия магнитного поля вокруг проводника с током аналогична энергии электрического поля, связанной с изолированным зарядом?

Мгновенное кулоновское взаимодействие в КЭД

В чем разница между поверхностным плазмоном и поверхностным плазмон-поляритоном?

Как классическое электромагнитное поле моделируется в квантовой механике?

Сила электромагнитной реакции?

Как ввести электромагнитное поле в квантовую теорию поля?

Почему мы можем допустить, что скорость света бесконечна в случае поверхностных плазмонов?

Решаются ли проблемы с собственной энергией точечного заряда в классической электродинамике с помощью квантования поля?