Как ввести электромагнитное поле в квантовую теорию поля?

Попробуйте это объяснение для размера. Подчеркну, что это мой собственный способ понимания$U(1)$Калибровочная инвариантность электродинамики, и я не видел ее нигде в точно таких же словах.

Вывод, который вы цитируете, обычно дается в контексте полуклассического (то есть сначала квантованного или до введения квантового поля) уравнения Дирака или Шредингера для электрона: одни и те же рассуждения применимы к обоим. Эти уравнения описывают фермион, поэтому нельзя переинтерпретировать их поля частиц.$\psi$как макроскопическое, классически измеримое поле: принцип запрета Паули означает, что вы не можете скопировать свой фермион и иметь$N$(где$N$очень большие) частицы в одном и том же квантовом состоянии. В противном случае вы могли бы в принципе измерить полное комплексное значение$\psi(x,y,z,t)$с произвольной точностью путем копирования$\psi$таким образом, а затем провести классическое измерение — то, что вы можете сделать с бозонами (см. ниже).

Что это означает на уровне одной частицы? Это означает, что только$|\psi|^2$имеет экспериментальное значение для одной частицы: вы можете измерить вероятность нахождения частицы в пространстве, но фаза$\psi$не имеет такого значения. Таким образом, мы должны быть в состоянии умножить$\psi$произвольной фазирующей функцией$e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}$и получить то, что означает физически одно и то же. Но в свете структуры уравнений Дирака или Шредингера это кажется абсурдным: несомненно:

$\partial_j \left[e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\,\psi(x,y,z,t)\right]\neq e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\, \partial_j\,\psi(x,y,z,t)$

скорее

$\partial_j\left[ e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\,\psi(x,y,z,t)\right]= e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\, \left[\partial_j\,\psi(x,y,z,t) + i\, \psi(x,y,z,t)\,\partial_j\,\alpha(x,y,z,t)\right]$

и поэтому такое предположение об инвариантности по отношению к произвольной фазировке недействительно, потому что фазировка явно «разрушает» структуру уравнений Дирака или Шредингера, если только фазовый множитель$\alpha$глобально постоянна. Это разумно: фаза$\psi$наиболее определенно является частью решений уравнений и играет определенную роль в дифракции и других волновых эффектах, влияющих на поле интенсивности.$|\psi|^2$.

Но можно «восстановить» ситуацию, постулируя, что отдельная частица связана с некоторым внешним полем, так что теперь уравнения Дирака или Шредингера содержат члены, включающие это связанное поле: если это так, мы можем добавить произвольную фазу$\alpha(x,y,z,t)$и сохранить глобальное уравнение таким же, сказав, что всякий раз, когда мы делаем это, мы должны убрать балансировку$i \partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$от спаренных в поле. Таким образом, мы заключаем, что если связанное поле$A_j$вообще физический, он должен давать те же измерения, что и поле$A_j + \partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$: оригинал плюс любое произвольное поле формы$\partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$, где$\alpha(x,y,z,t)$является некоторым подходящим образом определенным скалярным полем. Но есть поле, которое ведет себя именно так: электромагнитный четырехпотенциал. Мы можем добавить пространственный градиент$\nabla \alpha$к векторной части и одновременно добавить скаляр$\partial_t\alpha$к скалярному электрическому потенциалу, не влияя на электрический$\mathbf{E}$и магнитный$\mathbf{B}$поля.

Итак, вот оно: предполагаемая «калибровочная инвариантность» предполагает электромагнитное поле, потому что уравновешивающее поле ведет себя так же, как калибровочно-преобразованные векторные магнитные и электрические потенциалы. Таким образом, основным аргументом здесь является догадка: если это похоже на утку и крякает, возможно, это утка. То же самое и со связью внешнего поля с уравнением Дирака. Оно ведет себя подобно потенциальным полям электромагнетизма Максвелла, так что «мы» (или, скорее, физик, который первым додумался до этого — мое невежество, к сожалению, мешает мне сказать вам, кто именно) следуем нашей догадке и посмотрим, что произойдет, если мы примем поле за электромагнитное поле. поле.

Обратите внимание, что те же идеи неприменимы к бозонам. Мы можем думать об уравнениях Максвелла как о первых квантованных уравнениях для фотона. Никто не говорит об инвариантности уравнений Максвелла относительно умножения на произвольную фазовую функцию.$e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}$так же, как это делается для уравнения Дирака. Это несмотря на то, что уравнения Максвелла могут быть представлены в кватернионной форме, идентичной уравнению Дирака с нулевой массой, когда последнее рассматривается как два кватернионных уравнения, связанных массовым членом, поэтому тот же математический трюк будет столь же действителен. с уравнениями Максвелла, как это было бы с уравнением Дирака. Моя интерпретация такова: фаза фотона имеет классический смысл: фотоны — это бозоны, так что, в принципе, мы можем получить столько, сколько захотим в одном и том же состоянии: настолько много, что мы можем измерить фазу их общей «волновой функции» (которая теперь является электромагнитным полем - см. предостережения в примечаниях ниже) с произвольной точностью с помощью классических измерительных устройств, таких как интерферометры.ТОЧНО к макроскопическому классическому электромагнитному полю, которое мы можем настроить и детально измерить с произвольной точностью в лаборатории. Таким образом, даже если фаза одного фотона «скрыта», как и фаза одного электрона выше — нет никаких «фазовых» собственных состояний и никакой наблюдаемой «фазы», ​​— она все равно должна быть «абсолютной» в «множественно копируемой Только что описанный смысл «и-классически-измерить».

На этом мой ответ заканчивается, но ниже я добавлю несколько интересных вещей.

уравнения Максвелла из$U(1)$Калибровочная инвариантность

Между прочим, можно использовать это мышление о калибровочной инвариантности, чтобы мотивировать или «вывести» уравнения Максвелла. При подходящих предположениях о дифференцируемости поля самый простой способ получить поля, на которые точно не влияют калибровочные преобразования, - это сформировать тензорный ротор:

$F_{\mu\,\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$

(попробуйте это, если вы еще не пробовали: он оставляет ненулевое$F_{\mu\,\nu}$на которые не влияет калибровочное преобразование). Теперь постулируем лоренц-инвариантное волновое уравнение для безмассового поля:$\Box \mathbf{A} = \mathbf{0}$является очевидным (давайте просто вернемся к Д'Аламберу!). Вы сразу же получаете уравнения Максвелла в свободном пространстве как уравнения, выполняемые «физическим», не зависящим от калибровки$F_{\mu,\nu}$.

Какая ирония в том, что принцип запрета Паули, который сначала постулировался для «остановки» излучения электронов в атоме Бора и, таким образом, противоречил поведению, которое, казалось бы, было предсказано уравнениями Максвелла, может быть использован для обоснования калибровочного преобразования, которое в значительной степени следует из уравнения Дирака. вернемся к уравнениям Максвелла!

Интригующая и лаконичная «первоквантованная» или «детская» формулировка КЭД (особенно привлекательная для не квантовых теоретиков поля, таких как я) может быть получена путем постулирования уравнения Дирака-Максвелла:

$\gamma^\mu\left(i \partial_\mu - q A_\mu\right) \psi + V \psi - \psi = 0$

$\partial_\nu F^{\nu\,\mu} = q\,\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$

с манометром Лоренца$\partial_\mu A^\mu = 0$

т.е. интуитивно, источником уравнений Максвелла является$q$раз плотность тока вероятности (здесь$\bar{\psi}$обозначает сопряженный заряд$\psi$). Поле первого квантованного электрона теперь нелинейно связано с полем первого квантованного фотона. Эта нелинейная система может быть решена точно для потенциала атома водорода$V$и в других ситуациях

А. О. Барут и Дж. Краус, "Непертурбативная квантовая электродинамика: лэмбовский сдвиг", Основы физики, Vol. 13, № 2, 1983 г.

и это решение действительно может моделировать лэмбовский сдвиг и спонтанное излучение. Решение ряда получается чем-то очень похожим на стандартные условия возмущения КЭД, и действительно, нужно вмешаться и «перенормировать» это решение.

См. также работы Хилари Бут конца 1990-х.

Уравнения Максвелла как уравнения распространения фотонной волновой функции

По разным причинам первая квантованная «фотонная волновая функция» ведет себя и интерпретируется иначе, чем фермионное поле.$\psi$в уравнении Дирака. Совершенно правильно рассматривать решения уравнений Максвелла как однофотонные квантовые состояния, но нужно понимать, что существуют трудности с обработкой собственных состояний локализованного положения для фотона, в точности аналогичных тем, которые существуют для фермионов. См. работы Иво Белыницкого-Бирула, Маргарет Хоутон в конце 1990-х и начале 2000-х, например:

Иво Белыницкий-Бирула, "О волновой функции фотона" Acta Physica Polonica 86, 97-116 (1994)

Маргарет Хоутон и Уильям Э. Бейлис, «Угловой момент и геометрическая калибровка локализованных фотонных состояний», Phys. Ред. А 71, 033816 (2005 г.)