Обозначение смешанных тензоров: риск запутать позиции индекса?

Соглашение для обозначения индексов тензора состоит в том, чтобы писать контравариантный верхний индекс индекса и ковариантный нижний индекс индекса. Если имеется чисто контравариантный или чисто ковариантный тензор 2 порядок, то ассоциация я индекс с я размерность тензора очевидна:

Ф α β , Ф α β .
В этом случае, α дает индекс 1 ст размер, β индекс 2 й размер.

Однако, если речь идет о смешанном тензоре 2 й порядок, я часто сталкиваюсь с обозначением

Ф β α ,
где оба индекса расположены прямо друг над другом, сразу после символа тензора. Насколько я понимаю, это пренебрегает положением индекса и тем самым связью индекса с его измерением. Неясно, означает ли это обозначение
Ф α β или Ф β α .
Я что-то пропустил?

Даже если Ф был симметричен по индексам α и β , Ф α β ≠ Ф β α вообще, так как они по-разному преобразуются при преобразовании Т :

Ф ¯ α β "=" ( Т − 1 ) α мю Т ν β Ф мю ν ⇔ Ф ¯ "=" Т − 1 Ф Т Ф ¯ β α "=" Т мю β ( Т − 1 ) α ν Ф мю ν ⇔ Ф ¯ "=" Т Т Ф ( Т − 1 ) Т

Даже обычная литература использует это нечувствительное к положению обозначение (например, «Теоретическая физика 4» Вольфганга Нолтинга), и то же самое делают некоторые из моих профессоров по физике элементарных частиц, где контравариантные и ковариантные тензоры 2 и заказ появляются ежедневно.

Ответы (1)

Вы ничего не упускаете — это просто небрежное обозначение, и люди, которые это делают, просто не хотят утруждать себя правильной расстановкой пробелов.

Однако вы что-то упускаете в случае симметричных тензоров. В этом случае двусмысленности нет: верхний индекс трансформируется, сжимаясь по отношению к нижнему индексу Λ     ν мю ′ , в то время как нижний индекс трансформируется, сжимаясь по отношению к верхнему индексу Λ     ν ′ мю .

Вы можете подумать, что это имеет значение, если вы хотите записать сокращение как матричное умножение. Но умножение матриц — не более чем уловка для запоминания общих правил, о которых я только что сказал, и притом довольно ограниченная. Возможно, представление матричного умножения различается между двумя приведенными вами случаями, но это просто означает, что оно добавляет ненужные сложности. Правило преобразования в обозначении индекса является реальным и недвусмысленным определением.

Обозначение смешанных тензоров: риск запутать позиции индекса?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v