Разложение тензора кручения

См. Обновление ниже.

Рассмотрим тензор кручения Т мю ν р "=" − Т мю р ν . В локальной системе отсчета Лоренца, определяемой по вирбейну е а мю , это может быть эквивалентно задано как Т а б с "=" е мю а е ν б е р с Т мю ν р . При преобразованиях Лоренца этот тензор Лоренца третьего ранга преобразуется в

( 1 2 , 1 2 ) ⊗ ( ( 1 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 ) ) "=" ( 1 2 , 1 2 ) ⊕ ( 3 2 , 1 2 ) ⊕ ( 1 2 , 1 2 ) ⊕ ( 1 2 , 3 2 )
Представление Лоренца. Два ( 1 2 , 1 2 ) соответствуют векторной и аксиальной векторным частям, соответственно, заданным выражением В а б с д е ф Т д е ф и А а б с д е ф Т д е ф , вводя следующие проекционные операторы (каждый из которых явно антисимметричен в обоих б с и е ф ):
В а б с д е ф ≡ 1 6 η д е ( η а б дельта с ф − η а с дельта б ф ) − 1 6 η д ф ( η а б дельта с е − η а с дельта б е ) , А а б с д е ф ≡ 1 6 дельта а б с д е ф ,
где η а б – метрика Минковского, а дельта а б с д е ф является обобщенной дельтой Кронекера. ( 3 2 , 1 2 ) ⊕ ( 1 2 , 3 2 ) часть предоставлена Вопрос а б с д е ф Т д е ф ≡ Т а б с − ( В а б с д е ф + А а б с д е ф ) Т д е ф , определяющий оператор проектирования Вопрос а б с д е ф . я проверил это В а б с д е ф , А а б с д е ф , и Вопрос а б с д е ф вместе образуют правильную проекционную алгебру в отношении идемпотентности, ортогональности и полноты. Но мой вопрос заключается в следующем:

Вопрос: Как, если это вообще возможно, можно ( 3 2 , 1 2 ) и ( 1 2 , 3 2 ) индивидуально проецироваться? Что такое проекционные операторы? Если возможно, требует ли это перехода в комплексную область по аналогии с разложением, скажем, тензора Фарадея на самодуальную и антисамодвойственную части ( 1 , 0 ) и ( 0 , 1 ) ?

Я спрашиваю, потому что я не могу идентифицировать форму любых таких проекционных операторов. Я попытался использовать тензор Леви-Чивиты для построения некоторых самодуальных и антисамодвойственных проекционных операторов (над комплексной областью), дважды сжимающих два последних индекса Вопрос а б с д е ф Т д е ф , но результирующие операторы даже не являются идемпотентными по отдельности.

PS: Любая релевантная или полезная ссылка, конечно, будет оценена.

Обновление: я думаю, что решил это сам. Я верю в искомые проекционные операторы, ( Вопрос ± ) а б с д е ф скажем, проекция ( 3 2 , 1 2 ) и ( 1 2 , 3 2 ) , соответственно,

( Вопрос ± ) а б с д е ф "=" 1 2 Вопрос а б с д е ф ± ( Д 1 ) а б с д е ф ± ( Д 2 ) а б с д е ф ,

коррелированные признаки, где

( Д 1 ) а б с д е ф ≡ я 6 ε б с е ф дельта а д , ( Д 2 ) а б с д е ф ≡ я 12 ( ε а б д е дельта с ф − ε а с д е дельта б ф − ε а б д ф дельта с е + ε а с д ф дельта б е ) .

Что касается других проекционных операторов в этом посте, то эти проекционные операторы были записаны в форме, в которой они явно антисимметричны в обоих случаях. б с и е ф .

Вам нужно добраться до SL (2,C) спиноров, используя символы Инфельд-ван дер Вардена
@DanielC: Спасибо за совет. Я посмотрю на него, хотя, боюсь, это будет нелегко для меня: я имею в виду, что тензор кручения в этих обозначениях будет иметь три индекса с точками и три без точек, и, таким образом, любые проекционные операторы будут в этих обозначениях нести Двенадцать индексов, я думаю.
@DanielC: Вскоре после этого мне пришло в голову, что если операторы проекции возможны с использованием предложенной вами нотации, то это также должно быть возможно и без нее, то есть в тензорной нотации (хотя теперь и в сложной области), потому что преобразование обратно и далее между двумя формализмами является взаимно однозначным, используя, по существу, единичную матрицу и матрицы Паули. И теперь я считаю, что определил востребованных проекционных операторов, см. мое обновление выше.

Ответы (1)

Может быть, я не совсем понимаю ваш запрос, но я думаю, что довольно легко разложить тензор кручения. С Т с а б "=" − Т с б а , Вы получаете 4 × 6 "=" 24 независимые компоненты в четырехмерном пространстве-времени. Вы можете извлечь (или определить ) два независимых вектора, которые дают вам 8 компонентов (глобальная константа частично произвольна. Я использую η "=" ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) соглашение) :

(1) в а ≡ − 1 3 η б с Т с а б , векторная часть (2) т а ≡ 1 3 ! ε а б с д Т б с д . псевдовекторная или аксиальная часть
Тогда остается 16 компонент, сгруппированных в бесследовый тензор Т :
Т с а б "=" Т с а б В + Т с а б А + Т с а б Т (3) "=" ( η а с в б − η б с в а ) + ε а б с д т д + Т с а б .
Большинство авторов предполагают, что бесследовая тензорная часть исчезает: Т с а б "=" 0 , но это не в самом общем случае.

Большое спасибо за ваши усилия. Я согласен с вашим разложением. Однако моя цель состоит в дальнейшем разложении бесследового тензора с 16 компонентами на две части, каждая из которых имеет 8 компонентов, что соответствует разбиению прямой суммы (3/2,1/2)+(1/2,3/2) rep. на две его части: (3/2,1/2) и (1/2,3/2). Это можно сделать только для комплексных чисел; над вещественными числами, ваше разложение настолько далеко, насколько это возможно.
Разложение тензора кручения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v