Общая теория относительности: определение локально инерциальной системы отсчета

Принцип эквивалентности Эйнштейна гласит, что в достаточно малой системе отсчета невозможно узнать, находимся ли мы в гравитационном поле или нет. Точно так же мы не можем сказать, находимся ли мы в ускоряющей системе отсчета или нет. Это потому, что гравитация и инерция эквивалентны (отсюда и название принципа).

Поэтому, поскольку в локальной системе отсчета мы действительно не можем установить, ускоряемся мы или нет, имеет смысл определить локальную инерциальную систему отсчета ( синоним неускоряющейся системы отсчета ) как «систему свободного падения». На самом деле в локальной системе свободного падения вещи ведут себя так, как если бы они находились в совершенно инерциальной системе специальной теории относительности. ( М 4 )

Идеально, но мне кажется, что это должно означать, что местный наблюдатель, стоящий на земле (то есть вовсе не свободно падающий), следует рассматривать как ускоряющуюся неинерциальную систему отсчета.

Хорошо, это тоже нормально. Но мы знаем, что есть и другая, более геометрическая эквивалентная формулировка EEP:

Локально пространство-время выглядит как М 4

Это не точная формулировка геометрической формулировки, но она достаточно хороша. Это означает, что в каждой достаточно маленькой области пространства-времени это похоже на инерциальную систему отсчета специальной теории относительности , так что ни ускорения, ни гравитации, ни махинаций.

Но: ранее мы говорили, что меня, пишущего этот вопрос на поверхности земли, следует рассматривать как ускоряющую систему отсчета! Но геометрическая формулировка утверждает, что каждая достаточно малая система отсчета, включая меня, должна быть подобна инерциальной системе СТО!

Итак, в контексте GR я ускоряюсь? Или наоборот я попал в локальную инерциальную систему СИ? И самое главное: почему эти две формулировки ЭЭП кажутся противоречащими друг другу?

Ну, вы не ускоряетесь прямо сейчас, когда ваши ноги касаются земли. Если бы под нами не было большого камня, препятствующего нашему движению, мы бы находились в свободном падении и тогда не смогли бы сказать, находимся ли мы в ускоряющейся системе отсчета или нет. Так что, если вы не писали этот пост на ноутбуке, свободно падая в самой большой в мире вакуумной камере, вы не ускоряетесь прямо сейчас. :)
Есть две проблемы: первая заключается в том, что вы не должны отвечать на вопрос в комментариях. Для меня нормально, но в конце концов модератор удалит ваш комментарий. И вторая проблема заключается в том, что то, что вы говорите, противоречит определению инерциальной системы отсчета в ОТО. Вы отвечаете на основе классического определения неинерциальной системы отсчета.
Точка взята на первую проблему. Но я не думаю, что ошибаюсь, говоря, что ответ на ваш первый вопрос — нет, вы не ускоряетесь. Но в более широкой интерпретации эквивалентного принципа я согласен, что на самом деле я не отвечаю на вопрос.

Ответы (4)

мне кажется, что это должно означать, что локальный наблюдатель, стоящий на земле (то есть вовсе не свободно падающий), следует рассматривать как ускоряющуюся неинерциальную систему отсчета.

Да, наблюдатель, стоящий на земле, в теории относительности не инерционен. Окончательным тестом является наличие у наблюдателя хорошего акселерометра. В этом случае это будет указывать на ускорение в 1 g вверх, окончательно показывая, что наблюдатель не инерциален.

Просто придирка к языку: наблюдатель не является системой отсчета, у него есть система отсчета, а еще лучше есть система отсчета, в которой он или она покоится.

есть другая, более геометрическая, эквивалентная формулировка EEP: локально пространство-время выглядит как 𝕄4 Это не точная формулировка геометрической формулировки, но она достаточно хороша.

Согласитесь, для нынешних целей этого вполне достаточно.

Это означает, что в каждой достаточно маленькой области пространства-времени это похоже на инерциальную систему отсчета специальной теории относительности, так что ни ускорения, ни гравитации, ни махинаций.

Это совсем не значит. Вы, конечно, можете иметь ускоряющие системы отсчета с псевдогравитационными силами в 𝕄4. Все 𝕄4 означает, что у вас не может быть никаких приливных эффектов.

𝕄4 представляет собой плоское пространственно-временное многообразие и может быть оснащено бесконечным количеством систем координат, в том числе неинерциальных. То, что «локально пространство-время выглядит как 𝕄4», означает, что существуют локальные координаты, где метрика является метрикой Минковского (в первом порядке), но это не ограничивает вас в использовании этих систем координат.

С физической точки зрения это означает, что приливные эффекты становятся незначительными в малых масштабах. Измеримые эффекты кривизны или приливные эффекты относятся ко второму порядку, поэтому они переходят к первому порядку в достаточно малых масштабах.

Но геометрическая формулировка утверждает, что каждая достаточно малая система отсчета, включая меня, должна быть подобна инерциальной системе СТО!

Нет, наблюдатель однозначно неинерционен. Геометрическая формулировка этому вовсе не противоречит. Геометрическая формулировка просто говорит о том, что в небольшой области пространство-время плоское, а не о том, что наблюдатель инерциален. Совершенно логично иметь неинерционных наблюдателей и системы отсчета в плоском пространстве-времени. Запрещены только приливные эффекты.

Просто небольшое уточнение. Ссылка на то, где вы отвечаете на третий выделенный текст, - это определение инерциальной системы отсчета. г мю ν "=" η мю ν и ∂ α ( г мю ν "=" 0 точка. Я не думаю, что это правильно, потому что мы можем установить полярные координаты в инерциальной системе отсчета и иметь неисчезающий символ Кристоффеля. Это правильно. 2) вы говорите: «означает, что все тензоры кривизны пространства-времени равны 0 в локальной области» — но кривизна задается вторыми производными метрики или производными символов Кристоффеля, оба из которых не равны нулю в точке. просьба уточнить
@Shashaank с вашим пунктом 2 вы абсолютно правы. То, что я сказал, неверно. Я пересмотрю, чтобы исправить это. Что касается вашего первого пункта, на самом деле в литературе существует много разногласий по поводу того, что определяет систему отсчета. Некоторые люди связывают систему отсчета с системой координат, и в этом случае полярные координаты не будут инерциальными. Другие связывают систему отсчета с тетрадой, и в этом случае координаты не имеют значения. Я говорил в первом смысле, хотя иногда использую и второй смысл. Я оставлю эту часть как есть.
Благодарю за разъяснение. Еще родственная вещь. Ссылаясь на часть, которую вы отредактировали — «где метрика — это метрика Минковского» — выглядит ли локально пространство-время как М 4 также означают, что в каждой точке мы можем свести Метрику к любой метрике (не только Минковской в ​​декартовых координатах, но и метрике, полученной произвольными преобразованиями координат метрики Минковского, такими как преобразование в полярные координаты, ускоренные системы отсчета или что-то еще) с единственным условием, что при заданной точке, где эта новая метрика действительна, новая метрика даст 0 компонентов тензора Реймана …….
Пожалуйста, не принимая во внимание вышеизложенное, я не говорю, что производные символов Кристоффеля для старой (действительной во всем многообразии) метрики равны нулю (как я указал в 1-м комментарии), но просто метрика, которую вы получаете в каждой точке, должна не обязательно быть Минковским в декартовой системе координат, но Минковским в ЛЮБОЙ координате с условием, что тензор Реймана, который вы получаете из этой метрики, будет равен 0. Это правильно? Я так думаю. Потому что «локально выглядит как М 4 означает, что вы можете иметь метрику Минковского в любых координатах; Метрика Минковского плоская во всех координатах.
Да, хотя часть «до первого порядка» будет отличаться для необычных координат
Согласен, частные производные метрики первого порядка должны быть равны 0. И я думаю, я должен прояснить еще один момент для всех, кто читает это. То, что я сказал в последнем комментарии для «локально нравится М 4 «справедливо для любой локальной инерциальной системы отсчета (система отсчета в ОТО в локальной системе) с одной модификацией для локальной инерциальной системы отсчета, которая заключается в том, что мы можем уменьшить метрику в каждой точке до декартовой Минковского или полярной системы Минковского и т. д., но НЕ до ускоренной системы Минковского. Есть разница между «локально как М 4 “ и просто инерциальные системы. Оставьте голос, если вы согласны. Еще раз спасибо за разъяснения.
Что ж, координаты Шварцшильда можно локально преобразовать в координаты Минковского или Риндлера в любой точке за горизонтом. Таким образом, если утверждение «НЕ ускорено по Минковскому» верно в некотором пространстве-времени, это не является общим принципом.
Да, но дело в том, что только «декартова или полярная Минковского» будет координатами локальной инерциальной системы отсчета, а координаты «Риндлера» будут координатами ускоренной (по отношению к локально инерциальной системе отсчета). И именно поэтому я сказал, что простое приведение метрики к локально Минковскому (в любых координатах, будь то ускоренные, полярные или риндлеровские) отличается от построения координат для локальной инерциальной системы отсчета (для которой только декартовы Минковского и полярные, но не минковские ускоренные). допустимый). Не так ли… или, может быть, я ошибаюсь насчет части координат Риндлера.
Я не знаю, что вы пытаетесь сказать здесь. Я уже объяснял, что не отношу полярные координаты к инерциальным. Я бы только классифицировал координаты, в которых метрика Минковского (в первом порядке), как (локально) инерциальные. В любом случае, мы получаем предупреждение «избегайте расширенных обсуждений». Координаты Риндлера не инерциальны, но это вполне законное (локальное) преобразование координат.

Стоя на поверхности Земли, система отсчета, покоящаяся относительно себя, заведомо не является системой с метрикой Минковского. Вот доказательство: отпустите объект так, чтобы он находился в свободном падении. Существует относительное ускорение между объектом и выбранной системой отсчета. Следовательно, система отсчета не инерциальна и ее метрика не является минковской.

Для определения касательного пространства в общей теории относительности недостаточно, чтобы метрика была Минковской только в одном событии. Он должен быть Минковским И не иметь зависимости первого порядка от расстояния или времени вблизи этого события. Другими словами, все символы Кристоффеля должны исчезнуть. Но так как выпущенный объект ускоряется относительно системы отсчета, покоящейся на Земле, то по крайней мере один из символов Кристоффеля не равен нулю.

Этот ответ верен по духу, но я с уважением считаю, что вы ошиблись в некоторых деталях во втором абзаце. В самом деле, для любой точки п на любом многообразии (в том числе криволинейном) существует нормальная система координат Римана около п в котором все символы Кристоффеля исчезают в п . Таким образом, вы все еще можете иметь гравитационные эффекты в точке, даже если все символы Кристоффеля исчезнут. Чтобы быть действительно «свободным от гравитации» в точке (нулевая кривизна), вам нужно, чтобы зависимость метрики второго порядка от пространства-времени обращалась в нуль, или, что то же самое, символы Кристоффеля не должны исчезать только в точке. п ...
... но также исчезают и их вариации первого порядка. Смотрите мой (слишком длинный и бессвязный) ответ для дальнейшего обсуждения.
Соответственно: вы всегда можете определить касательное пространство в любой точке (гладкого) многообразия, независимо от того, плоское оно в этой точке или нет. Дело в том, что если базовое многообразие искривлено в точке п , то касательное пространство «согласуется» с многообразием только до первого порядка («плоский порядок»), и они начинают отклоняться во втором порядке.
@tparker Спасибо за комментарий; Я знаком с геометрией Римана, так что это вопрос терминологии и того, что, по нашему мнению, говорит принцип эквивалентности. Всегда можно найти кадр, в котором эффекты кривизны проявляются только во втором, а не в первом порядке метрики. Но в кадре не движущийся отн. к поверхности Земли они приходят в первом порядке, так что это не локальная инерциальная система отсчета. Кажется, вы хотите сказать, что когда кривизна не равна нулю, локальной инерциальной системы отсчета нет, но это не стандартная терминология.
Хорошо, я понимаю, что вы говорите, я думаю, что, возможно, неправильно истолковал (или, по крайней мере, по-другому истолковал) вопрос ОП, но мы согласны по существу.

Отличный вопрос. Если бы я мог несколько переформулировать ваш вопрос, я полагаю, вы сбиты с толку очевидным противоречием между этими двумя утверждениями об эквивалентном принципе:

  1. Любое многообразие в ОТО локально выглядит как пространство Минковского.
  2. Даже (очень маленькие) локальные кадры могут демонстрировать гравитационные эффекты (например, вы можете почувствовать себя «ускоряющимся вверх», если вы стоите на поверхности Земли).

Ваше возражение состоит в том, что утверждение 1, по-видимому, подразумевает, что не может быть каких-либо наблюдаемых гравитационных эффектов в очень малых областях пространства-времени, тогда как утверждение 2, по-видимому, подразумевает, что они могут быть.

Разрешение этого очевидного противоречия заключается в том, что утверждения 1 и 2 и использование разных количественных понятий слова «местный» и утверждение 1 ограничивают слово «местный» меньшими областями, чем утверждение 2.

Точнее: утверждение 1 можно точнее перефразировать так:

Для любой точки п на любом псевдоримановом многообразии (т.е. пространстве-времени) существует локальная система координат вокруг п в котором разложение Тейлора метрического тензора согласуется с метрикой Минковского η сначала приказать о п .

Другими словами, г ( п ) "=" η и ∂ мю г ( п ) ≡ 0 в этих конкретных координатах (которые известны как нормальные координаты Римана). Таким образом, если вы определяете «локальный» как «настолько малый, что пренебрежимо малы только вариации первого порядка», что является неявным предположением в утверждении 1, то действительно никакие гравитационные эффекты не могут быть обнаружены локально.

Но оказывается, что эффекты кривизны (или ускорения «хозяина» локальной системы координат) обязательно идут вторым порядком в метрике. Точнее:

Многообразие имеет внутреннюю кривизну в точке п тогда и только тогда, когда разложение Тейлора второго порядка метрического тензора о п отклоняется от метрики Минковского.

Или еще точнее:

В любой момент п на любом псевдоримановом многообразии частные производные второго порядка метрического тензора ∂ мю ∂ ν г ( п ) либо тождественно равны нулю в каждой системе координат, либо имеют некоторые ненулевые компоненты в каждой системе координат. Следовательно, предложение ∂ мю ∂ ν г ( п ) ≡ 0 не зависит от координат. Тензор кривизны Римана обращается в нуль при п если ∂ мю ∂ ν г ( п ) ≡ 0 в некоторой системе координат (а значит, и во всех них).

Следовательно, вы всегда можете согласовать разложение Тейлора метрики относительно точки с метрикой Минковского до первого порядка (используя нормальные координаты Римана), но вы не можете согласовать его со вторым порядком, если многообразие искривлено в точке п . Поскольку гравитационные эффекты являются физическим проявлением искривления пространственно-временного многообразия, вы можете обнаружить их, если ваша локальная система отсчета достаточно велика, чтобы зафиксировать отклонения второго порядка относительно точки. п . Этот немного более слабый смысл слова «местный» используется в утверждении 2. Если ваша область пространства-времени является «большой первого порядка» только во временном направлении, то у вас не будет времени измерить какое-либо относительное ускорение близлежащей области. тестовая частица.

(Кстати, на самом деле вы не можете вызвать силы, которые вызывают ускорение, а только силы, которые вызывают приливное ускорение , определяемое в широком смысле как любое пространственное изменение в поле ускорения. Единственная причина, по которой вы можете чувствовать, что Земля ускоряет вас вверх, заключается в том, что ваше тело достаточно велико, чтобы члены второго порядка в метрике (которые пропорциональны постоянной ускорения г ) не пренебрежимо малы. Многие из вас не привыкли думать об ускорении электростатического отталкивания Земли, давит на вас, как о «приливном» ускорении, но это так: единственная причина, по которой вы можете его почувствовать, заключается в том, что оно приложено к подошвам вашего тела, а не где-либо еще. на вашем теле, что вызывает внутренние силы сжатия в вашем теле, которые вы чувствуете. Если бы оно каким-то образом распределялось таким образом, чтобы вызвать равномерное ускорение по всему телу, то оно работало бы точно так же, как гравитация, и вы не смогли бы его почувствовать.)

Спасибо за ответ. Не могли бы вы также объяснить разницу между инерциальной системой отсчета, системой Лоренца, локально Минковским пространством и плоским пространством Минковского?

Общая теория относительности совершенно ясна. Как наблюдатель на поверхности Земли вы находитесь в ускоряющей (неинерциальной) системе отсчета. Следовательно, ваша другая формулировка недостаточно хороша. Только инерциальные системы отсчета выглядят как системы Минковского, используемые в специальной теории относительности. В этом суть принципа эквивалентности, и должно быть ясно, что только одна из ваших формулировок верна.

Стандартным тестом инерциальной системы отсчета является использование акселерометра (он может быть даже установлен в приложении для вашего мобильного телефона). Таким образом, вы можете сказать, находитесь ли вы в инерциальной системе отсчета, не глядя за пределы своего непосредственного местонахождения.

Но в ОТО мы также утверждаем, что пространство-время является лоренцевым многообразием, а лоренцево многообразие в каждой точке выглядит как пространство-время Минковского. Так что даже на поверхности земли я должен получить пространство-время Минковского в локальной системе отсчета, а это значит, что я должен быть в инерциальной системе СТО. Вы видите мою проблему?
Вы не понимаете, что это значит. Каждая точка имеет касательное пространство Минковского, но касательные пространства Минковского относятся к системам отсчета в свободном падении. Поверхность Земли не находится в состоянии свободного падения.
Общая теория относительности: определение локально инерциальной системы отсчета
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v