В моих заметках профессора сказано, что в соответствии с принципом эквивалентности существует свободно падающая система координат, в которой уравнения движения свободной частицы имеют вид (1) где координаты в местной инерциальной системе координат с центром в = (0, 0,0,0) . Затем он продолжает и делает общее преобразование координат к систему для вывода геодезического уравнения.
Мой вопрос в том, что такое пространство системы координат . Мне кажется, что уравнение (1) верно только в непосредственной близости от точки, в которой центрирована система координат, и по мере удаления от этой точки на конечное расстояние уравнение (1) перестанет быть верным, как и в какой-либо другой точке. (с центром в (0, 0,0,0)) не будет свободно падающей системой координат Минковского.
Верно ли это или уравнение (1) справедливо для всей траектории частицы и что координаты действительны и для всей траектории. А также ли являются координатами всего многообразия.
Может ли кто-нибудь помочь мне в этом отношении.
На ваш 1-й вопрос: я думаю, что вы правы в том, что касается вывода, что уравнение верно локально. Однако вы можете иметь в виду, что, будучи тензорным уравнением, это уравнение локально верно в каждой (определенной) точке координатной карты. Поскольку это всегда верно в достаточно малой области относительно частицы и поскольку частица по определению всегда существует в пределах этой области, можно ожидать, что уравнение геодезической (и, я думаю, использование эпсилон-координат в выводе) будет быть справедливым для всей траектории. По вашему второму вопросу: координаты x не обязательно должны быть координатами всего многообразия - это зависит от того, как определено многообразие. Однако самое замечательное в тензорных уравнениях то, что они, как правило, верны на всем многообразии!