Определение напряжения и заряда на каждом конденсаторе

Учитывая верхнюю схему:

Применение KCL на узлах:

A : (Vd - Va) / R1 = ( Va / sC1) + ( (Va - Vb) / sCx)

B : ((Va - Vb)/sCx) + ((Vd - Vb)/sC2) = (Vb - VL)/R2

L : ((Vb - VL)/R2) = VL/sCL

3 уравнения для 3 неизвестных.

(Не забудьте поставить преобразование Лапласа ввода, т.е. Vd).

(Я что-то пропустил ?)

Глядя на схему botton, ее можно рассчитать следующим образом. Как вы знаете, Кирхгоф постоянно применяется в каждом узле. Вместо того, чтобы писать Кирхгофа с помощью токов, мы делаем это с помощью заряда (интеграл тока по времени):

а)

$$Q_{R1}=Q_{C1}+Q_{Cx}$$

б)

$$Q_{Cx}=Q_{C2}+Q_{CL}$$

Общий заряд каждого конденсатора в конце равен его начальному заряду плюс заряд, который циркулировал впоследствии, т.е. QC1total=QC1initial + QC1 (в предыдущем уравнении).

Следовательно, для решения проблемы необходимо знать начальные заряды (до того, как начнет течь ток). Предположим, что начальный заряд всех конденсаторов равен 0, поэтому QC1total=0+QC1=QC1, QC2total=QC2 и т. д.

Используя второй закон Кирхгофа, теперь мы можем записать конечные напряжения, зная, что конечные токи будут равны 0, и, следовательно, на резисторах нет падения напряжения.

Я)

$$-Vd+V1=0 \rightarrow -Vd+\frac {Q_{C1}} {C1}=0$$

II)

$$-V1+Vx+V2+Vd=0 \rightarrow \frac{-Q_{C1}} {C1}+\frac {Q_{Cx}} {Cx}+\frac {Q_{C2}} {C2}+Vd=0$$

III)

$$-Vd-V2+Vout=0 \rightarrow -Vd-\frac {Q_{C2}} {C2}+\frac {Q_{CL}} {CL}=0$$

С этими 3 уравнениями плюс уравнение в б) вы получите 4 уравнения с 4 неизвестными.

Уравнение в б) на самом деле говорит, что$\Delta Q_{Cx}=\Delta Q_{C2}+\Delta Q_{CL}$, т.е.

$$Q_{Cx}-Q_{C2}-Q_{CL}=Q_{previousCx}-Q_{previousC2}-Q_{previousCL}$$

Взяв уравнение II, III и последнее, можно записать в матричной форме

$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ Vd\\ Q_{previousCx}-Q_{previousC2}-Q_{previousCL} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac 1 {Cx} & \frac 1 {C2} & 0 \\ 0 & -\frac 1 {C2} & \frac 1 {CL} \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} Qx \\ Q2\\ QL \end{array} \right)$$

Это можно решить инвертированием матрицы и умножением на вектор слева, где необходимо использовать предыдущие значения заряда конденсатора (в начале они будут равны 0).

После этого вы должны получить уравнения для другого значения CLK. Вы увидите, что матрица не изменится, изменится только вектор (Vd поменяется местами с 0), и вы будете использовать в качестве Qпредыдущие заряды, полученные на предыдущем шаге. После умножения вы получите новые значения Q, и вы можете снова выполнить итерацию с другим значением CLK.

Вы увидите, что выходное напряжение имеет пульсацию (колеблется между двумя значениями). Для ваших симуляций выберите медленные часы, и вы увидите ту же пульсацию. Если часы работают быстро, выходное напряжение не будет пульсировать, но его конечное значение будет средним между двумя значениями, полученными из уравнений.

Пример использования Vd = 5 В, C1 = 1 мкФ, Cx = 0,1 мкФ, C2 = 1 мкФ, CL = 1 мкФ и медленного CLK 10 Гц, вот моделирование:

Вы можете видеть, что оно колеблется между 2,619 В и 238,1 мВ.

Мы получаем те же результаты, решая в Matlab ранее сформулированные уравнения:

Если вы увеличиваете тактовую частоту, выходное напряжение становится плавным, как вы можете видеть в этом моделировании (CLK изменен на 100 кГц):

Конечное напряжение составляет 1,43 В, что можно определить как среднее между 2,619 В и 238,1 мВ.