RC-цепь с конденсатором с потерями

Эта схема

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

можно рассматривать как последовательную цепь RC с конденсатором с потерями. Выражение времени для$V_C(t)$с$R_2 \to \infty$доступно здесь , и это$V_C(t) = V_0 (1 - e^{-t/\tau})$.

Я хотел бы получить такое же выражение, но в этой ситуации.

$V_0$генератор постоянного напряжения; переключатель закрыт на$t \geq 0$и$V_C (t = 0) = 0$(конденсатор изначально разряжен).

я могу написать

$$\frac{V_0 - V_C (t)}{R_1} = I(t)$$

$$\frac{V_0}{R_1} - \frac{1}{R_1 C} \frac{dQ(t)}{dt} = I(t)$$

какой ток через$R_1$и так общий ввод$C // R_2$.$V_C (t)$изменяется во время заряда конденсатора. Дело в том, что здесь$I(t)$это не просто$dQ(t) / dt$, так как не весь заряд, выходящий из$R_1$проходит через конденсатор: часть его проходит через$R_2$и это количество «утекшего» заряда меняется (увеличивается) со временем. Итак, как это можно учесть?

Есть ли какие-нибудь подсказки, чтобы получить дифференциальное уравнение для заряда или тока конденсатора ?