Определение оператора в квантовой механике

Это то, что ученые -компьютерщики назвали бы (специальными) полиморфными или «перегруженными» функциями: в основном, оператор$X$на гильбертовом пространстве$\mathcal{H}$это не одна функция$X: \mathcal{H}\to\mathcal{H}$, а семейство из двух функций

$$X = \{ X_{\mathcal{H}}, \quad X_{\mathcal{H}^\ast} \}$$ с $$X_{\mathcal{H}}: \mathcal{H}\to\mathcal{H}, \quad X_{\mathcal{H}^\ast}: \mathcal{H}^\ast\to\mathcal{H}^\ast$$ Поскольку дуальное пространство гильбертова пространства («пространство бра-векторов») — это пространство, отличное от $\mathcal{H}$само собой, всегда однозначно, какую из двух функций вы имеете в виду при применении $X$либо к кету, либо к бюстгальтеру.

И определение$X_{\mathcal{H}^\ast}$следует непосредственно из одного из$X_{\mathcal{H}}$наоборот. Это легко увидеть в одном направлении:

$$\bigl(X_{\mathcal{H}^\ast}(\langle f|)\bigr)(|v\rangle) = \langle f| \bigl(X_\mathcal{H}(|v\rangle)\bigr)$$ С другой стороны, нам нужно применить теорему Рисса о представлении : для любого $|v\rangle \in \mathcal{H}$, позволять $$\begin{align} \langle X_v^\ast| & \in\mathcal{H}^\ast \\ \langle X_v^\ast| &:= X_{\mathcal{H}^\ast}\bigl(\langle . , v\rangle\bigr). \end{align}$$ согласно которому $\langle . , v\rangle$я имею в виду функцию $$\begin{align} v^\ast & \in \mathcal{H}^\ast \\ v^\ast(w) & := \langle w,v\rangle \end{align}$$ (Теперь это не применение двойных векторов, а фактическое скалярное произведение, которое приходит с гильбертовым пространством!)

Затем Рисс говорит нам, что это соответствует одному уникальному элементу$X_v\in\mathcal{H}$, поэтому мы можем определить

$$X_{\mathcal H}(|v\rangle) := X_v.$$ И поскольку физики ленивы (хорошая черта, хотя некоторые перебарщивают), они избегают всех «очевидных» скобок и т. д., и просто предполагают, что читатель будет знать, как нужно применять оператор, в каком пространстве он живет и т. д. Переключение между бра- и кет-версией состояния неявно всегда вызывает теорему Рисса о представлении, но об этом редко говорят.

Действие (вправо) на кет-пространство естественным образом индуцирует действие (влево) на пространство бюстгальтера. Пространство бра — это пространство, двойственное кет-пространству (то есть пространству линейных функционалов над кетами). Мы можем просто определить$\left< \psi \right| X$по его действию на кеты (или, поскольку он линейный, на основе кет-пространства и линейного расширения):

$$\big(\left< \psi \right| X\big) \left| \phi \right> := \left< \psi \right| \big( X \left| \phi \right>\big).$$ Такие определения также распространены в чистой математике. Если вы хотите быть педантичным, вы можете использовать некоторые обозначения, например $\iota(X)$, для индуцированного оператора в двойственном пространстве.