Интуитивное представление о конструкции ГНС и ее связи с обычной квантовой механикой

Основная идея построения GNS заключается в том, что вы используете одно состояние (часто это будет вакуум, если мы работаем с плоским пространством) для воссоздания всего гильбертова пространства. Это действительно связано с цикличностью: множество всех векторов, порожденных действием алгебры на вакуум, плотно в полученном гильбертовом пространстве. Таким образом, чтобы сгенерировать полное гильбертово пространство, просто примените каждый элемент$C^*$-алгебра, чтобы создать плотное подмножество гильбертова пространства, затем выполните пополнение Коши для них, чтобы создать полное гильбертово пространство.

Простой способ вернуться к обычному представлению в виде гильбертова пространства состоит в том, чтобы рассмотреть произведение трех членов алгебры, а затем их представление$\pi$поскольку операторы гильбертова пространства становятся

Затем вы можете просто определить состояния$\vert \psi \rangle = \pi(C) \vert \omega \rangle$и$\vert \phi \rangle = \pi(A) \vert \omega \rangle$, тогда ваше состояние становится

Тогда это становится обычным переходом между двумя состояниями.

Простым примером этого может быть, например, рассмотрение операторов рождения и уничтожения в вакууме. Они образуют$C^*$алгебре, и они могут воздействовать на состояние вакуума, чтобы создать любое количество состояний, которые образуют гильбертово пространство. С другой стороны, никакое количество применений операторов создания к вакууму не даст вам состояния, определяемого состоянием Фока.

Если бы мы использовали это состояние в качестве основного$\omega$, у нас была бы унитарно неэквивалентная теория.

В обратном порядке:

1. Цикличность следует рассматривать как своего рода условие неприводимости. Заметьте, что каждый вектор неприводимого представления является циклическим, и поэтому существование нециклического вектора указывает на приводимость. Таким образом, цикличность не имеет большого значения, кроме обычной идеи изучения всех неприводимых представлений, поскольку они вместе содержат всю необходимую информацию об алгебре. Один аспект, который, возможно, стоит упомянуть, заключается в том, что требование цикличности делает конструкцию GNS уникальной — может быть много пространств, в которых любое заданное абстрактное состояние представлено вектором, но все представления, в которых оно является циклическим, унитарно изоморфны.

2. Отношение между состояниями и векторами следующее: в одном направлении, от векторов к состояниям, мы имеем это для каждого представления$\rho : \mathcal{A}\to \mathrm{B}(H)$на гильбертовом пространстве$H$с ограниченными операторами$\mathrm{B}(H)$и каждый вектор$v\in H$, карта$\mathcal{A}\to\mathbb{C}, A\mapsto \langle v\vert \rho(A)\vert v\rangle$есть государство в абстрактном смысле. Наоборот, именно смысл конструкции ОНС состоит в том, что для каждого абстрактного состояния можно найти такое гильбертово пространство, что состояние задается вектором в этом пространстве в этом смысле.

3. Я не вижу в этом ничего интуитивного (и я немного озадачен, какую интуицию вы ожидаете от абстрактного$C^\ast$-алгебр), но физически конструкция ОНС гарантирует, что абстрактное$C^\ast$-алгебраическая перспектива и традиционный подход, который начинается с алгебры наблюдаемых в гильбертовом пространстве, эквивалентны: прямая сумма по всем представлениям GNS, связанным с (чистыми) состояниями алгебры$\mathcal{A}$точна и является изометрией, т. е. абстрактная алгебра изометрически изоморфна алгебре ограниченных операторов в этом гильбертовом пространстве. Следовательно, для результатов не имеет значения , придерживаемся ли мы «абстрактной» или «конкретной» точки зрения. В этом состоит содержание теоремы Гельфанда — Наймарка .

Как физик я понимаю ГНС следующим образом.

укороченная версия

Имея наблюдаемые, математические ожидания и симметрии, мы можем реконструировать обычную КМ с ее гильбертовым пространством, ее определением математических ожиданий как «бутербродов» и ее обычным унитарным представлением симметрий.

более формальная версия

Мы даем себе

• алгебра$\mathcal{A}$стабильно под$A \mapsto A^*$: они должны быть идентифицированы с нашими операторами;
• функция$\omega$связывание комплексного числа с каждым элементом этой алгебры: это будут ожидаемые значения операторов;
• группа симметрии$G$действующий на этой алгебре такой, что
  • любая симметрия$s$удовлетворяет$s(AB)=s(A)s(B)$,
  • и он уходит$\omega$инвариант:$\omega(s(A))=\omega(A)$.

Затем GNS конструирует:

• гильбертово пространство$\mathcal{H}$,
• вакуумный вектор$\mid 0\rangle$,
• представление$\phi$алгебры$\mathcal{A}$, т.е. отображение из$\mathcal{A}$на$\mathcal{H}$такой, что$\phi(AB)=\phi(A)\phi(B)$, который, кроме того, обладает тем свойством, что ожидание любого элемента$A \in \mathcal{A}$квантовое ожидание$\phi(A)$: $$\omega(A) = \langle 0\mid\phi(A)\mid 0\rangle$$
• унитарное представление группы симметрии, которое вносит симметрию в гильбертово пространство, т. е. к каждому$s \in G$связан унитарный оператор$U_s$на гильбертовом пространстве такое, что $$\phi(s(A))=U_s\phi(A)U_s^*$$

цикличность вакуума

Короткая версия состоит в том, что, применяя все операторные представления к вакууму, мы получаем почти все элементы$\mathcal{H}$. Строгая версия заключается в том, что$\left\{ \phi(A) \mid\! 0 \rangle \mid A\in\mathcal{A} \right\}$плотный в$\mathcal{H}$.