Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Так что да, вам нужно успешно интегрировать по частям. В сферических координатах интеграл равен:

$$\langle\phi|\hat B|\psi\rangle = \int_0^\infty dr~\int_0^\pi r~d\phi~\int_0^{2\pi}r\sin\phi~d\theta\;\phi^*(r,\phi,\theta) ~i\left(\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)_{\phi,\theta}.$$ Интегрирование по частям по переменной $r$различает $r^2 \phi^*(\dots)$производство $2r \phi^* + r^2 \partial_r\phi^*,$но мы должны тянуть $r^2$из фронта снова, обратно в интеграл.

Это означает, что сопряжение$\hat B$(вещь, которая делает то же самое, что и$\hat B$при воздействии на bra-пространство, а не на ket-пространство для всех внутренних продуктов)

$$\hat B^\dagger = -i\left(\frac{2}{r} + \frac \partial{\partial r}\right),$$ где знак минус стоит от самого интегрирования по частям.

Эрмитово сопряженное (также называемое сопряженным) оператора$A$оператор$A^*$удовлетворяющий

$$\langle f,Ag\rangle\,=\,\langle A^* f,g\rangle \text{ for all }f,g\,\in H$$ $H$так называемое гильбертово пространство и $f,g$являются векторами. Поскольку вы новичок в КМ, вас не нужно путать со словом «гильбертово пространство». Просто относитесь к этому как к частному случаю векторных пространств.

То, что вы хотите знать, это форма$A^*$удовлетворяющий

$$\langle f,i\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\rangle\,=\,\langle A^* f,g\rangle \,\text{ for all }f,g\,\in H$$ и вы, кажется, заинтересованы в том, чтобы показать отшельничество $A$, поэтому предположим, что форма $A^*$это также $i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$и путем интегрирования по частям, $$\langle f,i\frac{dg}{dx}\rangle-\langle i\frac{df}{dx} ,g\rangle\,=\,f^*g\,|_{interval}$$

Физически правдоподобные волновые функции в КМ обычно$f( \infty )=0$(все пространство) или$f(2\pi)=f(0)$(сферическая симметрия). С этими условиями мы сейчас сталкиваемся$\langle f,i\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\rangle=\langle i\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} ,g\rangle$

Здесь мы знаем, что$A=i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$является эрмитовским, говоря$A$имеет свою примыкающую$A^*=i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$.

Точно так же вы можете видеть, что$B=\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}$является ли эрмитовым или нет.

В КМ операторы, которые соответствуют физическим величинам, являются самосопряженными, а не просто эрмитовыми, несмотря на то, что многие основные книги по КМ концентрируются на эрмитовости операторов, поэтому, как только вы освоитесь с теориями операторов, вы можете пойти дальше и посмотреть, что такое самосопряжение. - смежность есть.

(редактировать)

В вашем подходе вы должны учитывать

1. элемент объема сферической координаты$dV=r^2 sin\theta drd\theta d\rho$не просто$dV=drd\theta d\rho$.

2. $\langle B\psi|\psi\rangle=\int d\tau \overline{B \psi(\tau)}\psi$, не только$\langle B\psi|\psi\rangle=\int d\tau {B \psi(\tau)}\psi$

3. Оператор импульса в декартовой координате равен$-i \hbar \frac{d}{dx}$но в сферически координированном пространстве соответствующий оператор импульса должен менять свой вид, а не просто$-i \hbar \frac{d}{dr}$. Поэтому мы не можем гарантировать эрмитовость$-i \hbar \frac{d}{dr}$.