От чего зависит скорость волн в воде?

Полный ответ на этот вопрос является открытой проблемой механики жидкости, поскольку точные решения в замкнутой форме для уравнений безвихревых поверхностных гравитационных волн на воде неизвестны. Однако при определенных асимптотических приближениях мы можем оценить скорость этих волн.

Безвихревые невязкие поверхностные волны описываются уравнением Лапласа, т.е.

$$\nabla^2 \phi = 0$$

куда$\phi$есть потенциал скорости. Это основное уравнение вместе с граничными условиями

$$\phi_t+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 +gz = 0$$

$$\eta_t +(\nabla \phi)\cdot (\nabla \eta) = \phi_z$$

куда$\eta$- смещение свободной поверхности, и эти уравнения оцениваются на свободной поверхности, т.е.$z = \eta$, а нижнее граничное условие$\phi_z = 0$в$z=-h$, где h — глубина воды, составляют полную систему уравнений. Также здесь$g$есть ускорение свободного падения.

Основное уравнение является линейным, то есть уравнения Лапласа, но BC нелинейны и, кроме того, оцениваются в точке, для которой мы должны решить, что делает эти уравнения очень трудными для решения.

Чтобы добиться какого-либо аналитического прогресса, мы делаем асимптотические приближения. В зависимости от того, описываете ли вы глубоководные или мелководные волны, в игру вступают разные безразмерные параметры. Однако для линейных волн они оба имеют общий малый параметр$\epsilon \equiv ak$, который описывает наклон волны.

В этом случае основные уравнения, чтобы$\mathcal{O}(\epsilon)$находятся

$\nabla^2\phi = 0$, с$\phi_t+ g\eta = 0$а также$\eta_t = \phi_z$, оба оценены в$z=0$, пока$\phi_z = 0$в$z=-h$.

Для простоты рассмотрим волны двух измерений, где$x$горизонтальное направление, а$z$является вертикальной координатой. Предполагая, что решения представляют собой постоянные прогрессивные волны формы

$$\eta = a\ cos(kx-\omega t)$$ с $a$амплитуда, $k$волновое число и $\omega$частоты, мы находим, что линейные управляющие уравнения подразумевают

$$\omega^2 = gk \tanh(kh)$$

Теперь, если мы будем следить за волнами постоянной фазы$\theta = kx -\omega t$, мы видим, что эти волны распространяются со скоростью$c = \omega/k$. На мелководье,$kh \gg 1$, чтобы

$$\omega^2 \approx ghk^2\\ (\text{and}) \\c = \sqrt{gh},$$

находясь в глубокой воде,$kh \ll 1$чтобы

$$\omega^2 \approx gk\\ (\text{and}) \\ c= \sqrt{\frac{g}{k}}$$

Первое, что мы замечаем, это то, что в глубокой воде волны имеют дисперсию , то есть фазовая скорость зависит от волнового числа. Вот почему, например, когда к берегу подходят волны, первыми приходят самые длинные волны. На мелководье волны первого порядка не имеют дисперсии.

В первом случае следы представляют собой не что иное, как линейную суперпозицию волн из-за возмущения движущейся точки. Это известно как проблема следа корабля Кельвина, и я обсуждал способ получения этого результата здесь .

Приведенное выше описание едва ли является кратким изложением. Например, есть много интересных эффектов, которые происходят, когда учитываются капиллярные эффекты. Для глубоководных капиллярных волн

$$\omega^2 = Tk^3$$

куда$T$есть поверхностное натяжение воды. Мы видим, что для этих волн скорость увеличивается с волновым числом, в отличие от гравитационных волн. Однако это уравнение является академическим, поскольку любое описание капиллярных волн обязательно должно включать диссипацию, которую значительно сложнее смоделировать (и это было сделано только для нелинейных случаев численно).

Эффекты второго порядка (например, в мелководных солитонах, в глубоководных эффектах Стокса и нелинейном уравнении Шредингера) действительно интересны, но связаны с более тяжелым подъемом.