Есть ли разница между мгновенной скоростью и величиной мгновенной скорости?

Рассмотрим частицу, которая движется по координатной сетке. После$t$секунд, он имеет положение

$$S(t)=(\cos t, \sin t) \quad 0 \leq t \leq \pi/2 \, .$$ Частица проходит четверть дуги длины$\pi/2$по единичному кругу. Это означает, что средняя скорость частицы $$\frac{\text{distance travelled along the arc of the circle}}{\text{time}}=\frac{\pi/2}{\pi/2} = 1 \, .$$ Однако, поскольку движение частицы является круговым, пройденное расстояние не совпадает со смещением. Смещение частицы будет$\sqrt{2}$, поэтому средняя скорость будет $$\frac{\text{straight line distance from initial position}}{\text{time}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi/2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \text{ at angle of $\frac{3}{4}\pi$ with the positive $x$-axis} \, .$$ Вот часть, которую я не совсем понимаю: на интервале средняя скорость частицы отличается от величины ее скорости. В приведенном выше примере первое$1$, тогда как последний$\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$. Однако величина мгновенной скорости частицы такая же, как и мгновенная скорость: здесь они оба равны$1$. Мы можем математически доказать это, рассмотрев следующий предел $$|S'(t)| = \lim_{h \to 0}\frac{|S(t+h)-S(t)|}{|h|}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\left(\sin(t+h)-\sin t \right)^2+\left( \cos(t+h)-\cos t\right)^2}}{|h|} \, ,$$ что оказывается равным$1$. Следовательно, модуль мгновенной скорости равен$1$. И ясно, что мгновенная скорость частицы равна $$\lim_{h \to 0}\frac{h}{h} = 1 \, ,$$ так как расстояние, пройденное по дуге между$S(t+h)$и$S(t)$просто$h$единицы измерения. Однако всегда ли так будет? Всегда ли величина мгновенной скорости частицы равна ее мгновенной скорости?