Открытая вселенная без Большого взрыва?

Разделительная линия встречается в$(\Omega_m,\Omega_\Lambda)=(0,1)$. Из уравнений Фридмана следует, что масштабный фактор$a(t)$удовлетворяет соотношению

$$\frac{\dot{a}^2}{H_0^2} = \Omega_m a^{-1} + (1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2.$$ Вселенная не имеет сингулярности Большого взрыва, если приведенное выше выражение отрицательно (или равно нулю) для некоторых (малых) значений $a$. Итак, мы должны изучить, при каких условиях $$\frac{\dot{a}^2}{H_0^2} \leqslant 0.$$ Давайте сначала предположим $\Omega_m = 0$. Тогда условие $$(1 - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2 \leqslant 0,$$ что подразумевает $\Omega_\Lambda\geqslant 1$. Значение $(\Omega_m,\Omega_\Lambda)=(0,1)$на самом деле является частным случаем, потому что тогда мы имеем $$\frac{\dot{a}^2}{H_0^2} = \Omega_\Lambda a^2,$$ с раствором $a(t) \sim \exp(tH_0\sqrt{\Omega_\Lambda})$, у которого нет большого взрыва, так как $a\rightarrow 0$если $t\rightarrow-\infty$, т.е. сингулярность лежит в бесконечном прошлом.

Если$\Omega_m > 0$, то нам потребуются еще более высокие значения$\Omega_\Lambda$чтобы получить вселенную без большого взрыва. Это следует из того, что при малых значениях$a$, у нас есть

$$\begin{multline} \Omega_m a^{-1} + (1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2 >\\ \Omega_m + (1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2 = (1 - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2, \end{multline}$$ поэтому для заданного $a$, значения $\dot{a}^2/H_0^2$в общем случае больше, чем $(\Omega_m = 0)$случай.