ОТО и мое путешествие к центру Земли

Это замечательно! И это тоже имеет полный смысл! (кроме возможного неправильного использования слова «расстояние»). Давайте посмотрим на уравнения вашего движения в искривленном пространстве-времени Земли, предполагая, что ваши ноги не касаются земли:

$$\frac{\mathrm d^{2}x^{\mu}}{\mathrm ds^{2}}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}(x(s))\ \frac{\mathrm dx^{\nu}}{\mathrm ds}\frac{\mathrm dx^{\sigma}}{\mathrm ds}=0$$ куда $x^{\mu}(s)$твоя мировая линия, $s$некоторый параметр,

$$\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}=\frac{1}{2}\ g^{\mu\tau}(\partial_{\nu}g_{\sigma\tau}+\partial_{\sigma}g_{\nu\tau}-\partial_{\tau}g_{\sigma\nu})$$ с $g^{\mu\tau}$обратная метрика и $$g=\left( 1 - \frac{r_{s} r}{\rho^{2}} \right) c^{2}\, \mathrm dt^{2} - \frac{\rho^{2}}{\Delta} \mathrm dr^{2} - \rho^{2} \,\mathrm d\theta^{2}+ \\ - \left( r^{2} + \alpha^{2} + \frac{r_{s} r \alpha^{2}}{\rho^{2}} \sin^{2} \theta \right) \sin^{2} \theta \,\mathrm d\phi^{2} + \frac{2r_{s} r\alpha \sin^{2} \theta }{\rho^{2}} \, c \,\mathrm dt \, \mathrm d\phi$$ куда $$r_{s}=\frac{2GM}{c^{2}}\ ,\quad\alpha=\frac{J}{Mc} \ ,\quad \rho^{2}=r^{2}+\alpha^{2}\cos^{2}\theta\ ,\quad \Delta=r^{2}-r_{s}r+\alpha^{2}$$ с $M$а также $J$Масса Земли и угловой момент.

Уравнения движения могут быть получены из функционала действия

$$S[x(s)]=-mc\int_{a}^{b}\sqrt{g_{\mu\nu}(x(s))\,\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm ds}\frac{\mathrm dx^{\nu}}{\mathrm ds}}\ \mathrm ds$$ куда $m$— это ваша масса, и с точки зрения силы тяжести она не играет никакой роли в том, как вы падаете на землю. Вы находите уравнения движения, минимизируя S относительно кривой $x(s)$, что означает минимизацию (должного) времени, которое вы тратите на свою мировую линию, раз $-mc^{2}$(вот почему вы минимизируете, а не максимизируете): $$\begin{align} S[x(\tau)]&=-mc^{2}\int_\textrm{today}^\textrm{tomorrow}\sqrt{g_{\mu\nu}(x(\tau))\,\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau}\frac{\mathrm dx^{\nu}}{\mathrm d\tau}}\,\mathrm d\tau\\ &= \text{the distance between today and tomorrow}\,. \end{align}$$ Поскольку вы будете падать в направлении, которое соединяет вас с центром Земли, кратчайшее расстояние между сегодняшним и завтрашним днем ​​действительно проходит через центр Земли. Причина, по которой вы сейчас прилипли к полу, на самом деле в том, что земля мешает вам выбрать кратчайший путь от сегодняшнего дня к завтрашнему, который проходит через центр Земли.

То, что говорит ОТО, верно: прямая линия между, скажем, Лондоном сегодня и Лондоном завтра — это не кривая, которая проводит все время между Лондоном: действительно ли она проходит через центр Земли, я не уверен, и это зависит от того, как быстро вы двигаетесь, а также от того, где вы находитесь.

Предостережение в том, что прямая (геодезическая) не кратчайший путь, а самый длинный (кратчайшего пути не существует) и длина — это собственное время.

Это не противоречит тому, что вы можете выбрать другие пути: вы можете, но они не являются экстремумами длины, и поэтому вы испытываете ускорение на пути: например, ускорение, которое в настоящее время прижимает вас к земле.

Это имеет смысл как «визуальное» описание.

В ОТО свободные частицы с массой движутся по времениподобным геодезическим. Обычным описанием геодезических являются такие кривые, которые локально минимизируют длину пути, но это описание исходит из римановой геометрии, а не лоренцевской геометрии, которой является ОТО. В лоренцевской геометрии времениподобные геодезические — это те, которые локально максимизируют собственное время.

Причина, по которой цитата звучит настолько бессмысленно, заключается в том, что в ОТО время также искривлено, и геодезические движутся не только в пространстве, но и в пространстве-времени. Если бы земля не была под вашими ногами, вы бы провалились через центр земли, так как прошло бы время, поэтому вы могли бы сказать, что «путь с наибольшим собственным временем между сегодняшним и завтрашним днем ​​проходит через центр земли».

Но под ногами есть земля, земля воздействует на вас ЭМ силой, которая заставляет вас отклоняться от этой геодезической, так как вы уже не "свободная частица".

Эта цитата требует некоторой модификации, чтобы иметь смысл:

«Общая теория относительности в основном говорит, что причина, по которой я придерживаюсь пола, заключается в том, что путь максимального старения между «здесь сейчас» и «здесь завтра» проходит через центр Земли».