Что означает, что объекты следуют кривизне пространства?

Просто чтобы убрать это с пути, «прямая линия» здесь означает геодезическую на искривленной поверхности/многообразии, но я думаю, вы это понимаете.

«Если Земля, вращающаяся вокруг Солнца, просто движется по прямой линии в искривленном пространстве, не должен ли свет также задерживаться на орбите вокруг Солнца?»

Как вы уже догадались, они не следуют одной и той же геодезической из-за своей скорости. И скорость тела учитывается автоматически, потому что вы вычисляете эти геодезические не только в искривленном пространстве , но и в искривленном пространстве-времени , где это имеет значение: представьте себе$t$-$x$-диаграмма и как земля или луч света уходят от начала координат. Путь Земли будет близок к оси времени, а путь света будет наклонен к пространственной оси (в зависимости от ваших юнитов). На оба пути одинаково влияет кривизна пространства-времени, но они явно начинаются в разных направлениях (в пространстве-времени, а не в пространстве), поэтому геодезические будут совершенно разными. Существует некоторый определенный угол, под которым объект будет вращаться (обратите внимание, что теперь для этого требуется как минимум два пространственных измерения). Меньшие углы упадут к земле, а большие смело пойдут туда, куда еще не ступала нога человека. Это очень геометрическое понятие скорости убегания.

«Я ожидаю, что фактические уравнения в теории также учитывают скорость тела, а не только кривизну».

Поскольку у вас есть 1000 повторений по SE Mathematics, я могу сформулировать это следующим образом: геодезические уравнения , как и второй закон Ньютона, имеют второй порядок, поэтому они требуют двух начальных значений . Один — это вектор положения, а другой — вектор скорости, то есть направление в пространстве-времени. Кривизна (и это другое дело) учитывается коэффициентами при$\Gamma$в дифференциальных уравнениях. Эти коэффициенты в основном являются производными от метрики пространства-времени, которая сама по себе должна быть решением уравнений Эйнштейна .

Кроме того, если вы посмотрите на геодезическое уравнение, вы увидите, что для$\Gamma = 0$(плоское пространство-время), вы получаете легкий случай$x''(t)=0$, или$x(t)=x_0+v_0t$, которые представляют собой настоящие прямые линии. Здесь$x_0$и$v_0$являются исходными данными.

Кроме того, из-за принципа эквивалентности общей теории относительности геодезические не зависят от массы объектов. Все предметы падают одинаково, если они имеют одинаковое начальное положение и скорость. Но если две разные массы изначально покоятся (или, поскольку это относительное утверждение, лучше сказать: не движутся друг относительно друга), то из-за соотношения между ускорением и массой труднее заставить более тяжелую массу иметь некоторая начальная скорость, т.е. направление в пространстве-времени . И поэтому лично вам никогда не удастся попасть стулом по той же траектории, что и ручка, которую вы насильно бросаете в определенное направление в пространстве. Стул слишком тяжелый для вас, чтобы заставить его двигаться по тому же пути, что и маленькую ручку. Если два объекта с разными массами изначально находятся в состоянии покоя (не движутся друг относительно друга), а затем какая-то сила толкает их с одинаковой силой, они оба не окажутся на одной и той же орбите.

Таким образом, даже если геодезические пространства-времени не зависят от масс объектов, которые следуют за ними, вы никогда не увидите, чтобы луч света следовал по той же траектории, что и фонарик, потому что по законам относительности фонарик не может двигаться со скоростью света. Это крайний пример: массивные объекты никогда не следуют светоподобным геодезическим и наоборот.

Давайте построим здесь некоторую физическую интуицию.

Что происходит с ракетой, запущенной с Земли?

Если он будет слишком медленным, он упадет обратно на Землю. Если он достаточно быстр, он останется в ловушке на земной орбите, если он быстрее (по крайней мере, космическая скорость), он покинет земную орбиту, но останется в ловушке на орбите Солнца (он станет планетой). Если он будет еще быстрее, он покинет Солнечную систему и останется в ловушке на галактической орбите. У нас есть только один космический зонд, которому удалось достичь космической скорости за пределами Солнечной системы.

И так далее. Чем быстрее вы идете, тем дальше вам удастся убежать от гравитационных колодцев.

Предположим теперь, что ваша «ракета» на самом деле является световым лучом (лазерным лучом, если хотите). Вещи совершенно не меняются (уравнения геодезических те же, так как в них нет массы, просто t становится аффинным параметром ). Его траектория будет искривлена ​​(очень-очень незначительно), но, поскольку он такой быстрый, ему удастся покинуть орбиты Земли, Солнца и Галактики. В принципе, его может увидеть инопланетная раса в Андромеде, если так указать. На практике ваш световой луч слишком слаб и не будет виден даже на Альфе Центавра. Но Солнце все время испускает мощные световые лучи, и им удается уйти с орбиты Солнца и достичь звезд. Эти световые лучи сильны по интенсивности, но скорость, конечно, всегда одинакова (скорость света).

Вопрос: возможно ли, чтобы луч света находился на замкнутой орбите вокруг массивного объекта? Да, это! Если у вас есть Черная дыра и вы находитесь внутри горизонта, ничто — даже свет — не может выйти за пределы горизонта. Лучи света, испускаемые по касательной к поверхности горизонта, остаются на поверхности, то есть вращаются вокруг черной дыры. Световые лучи, испускаемые из-за горизонта, всегда остаются внутри. Вот почему со стороны мы видим его черным .

Итак, ваш вопрос: «Разве свет не должен также задерживаться на орбите вокруг Солнца?»

Ответ — нет, поскольку свету (подобно очень быстрой ракете) удается вырваться из гравитационного поля Солнца. Тем не менее траектория слегка искривлена. Эйнштейн успешно предсказал искривление лучей звездного света, скользящих по Солнцу, на нужную величину.