Искривление гравитации и падающее яблоко? [дубликат]

Путь в пространстве-времени, по которому движется свободно движущийся объект, задается уравнением геодезической :

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} {dx^\alpha \over d\tau} {dx^\beta \over d\tau} = 0 \tag{1}$$

Теперь это выглядит совершенно ужасно, но это намного проще, чем кажется.

Переменная$x$— вектор , задающий положение в пространстве-времени. Итак, если мы используем$x$,$y$и$z$положение в пространстве и$t$для положения во времени, то вектор$\vec{x}$имеет компоненты$(t, x, y, z)$. Верхний индекс, например$x^\mu$, не является степенью, а вместо этого говорит нам, какой это компонент. Так$x^0$было бы$t$,$x^1$было бы$x$,$x^2$было бы$y$и$x^3$было бы$z$.

Переменная$\tau$называется собственным временем и является временем, показанным на часах, которые несет движущийся объект. То есть, если бы вы двигались сквозь пространство-время$\tau$это просто время, которое отображается на ваших наручных часах.

Итак, выражение$d^2 x^\mu/d\tau^2$это просто ускорение, например, когда$\mu=2$это просто$d^2y/d\tau^2$или ускорение в$y$направление. Точно так же выражение$dx^\mu/d\tau$есть скорость, поэтому, когда$\mu=3$это просто$dz/d\tau$или скорость в$z$направление.

Символы$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$называются символами Кристоффеля , и они в основном описывают искривление пространства-времени. В плоском пространстве-времени, то есть без гравитации, все символы Кристоффеля равны нулю.$^1$. В искривленном пространстве-времени символы Кристоффеля отличны от нуля.

И теперь мы готовы идти. Давайте посмотрим, что произойдет, если вы отпустите свое яблоко в плоское пространство-время. Для плоского пространства-времени символы Кристоффеля равны нулю, и уравнение (1) принимает вид:

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} = 0$$

и это действительно четыре уравнения, по одному для каждого значения$\mu$:

$$\begin{align} {d^2 t \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 x \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 y \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 z \over d\tau^2} &= 0 \end{align}$$

Это говорит нам о том, что ускорение во всех направлениях равно нулю. Другими словами, яблоко остается на месте. И это, конечно, очень правильно. Если вы плывете в космосе вдали от каких-либо масс и отпускаете яблоко, оно остается на месте.

Небольшое отступление, прежде чем я перейду к тому, что происходит в искривленном пространстве-времени. Вам может быть интересно, что на Земле$d^2t/d\tau^2$является. Ну, координата времени$t$это то, что мы измеряем, пока смотрим на яблоко и координату времени$\tau$это то, что яблоко измеряет на своих наручных часах. Если яблоко неподвижно относительно нас,$t$и$\tau$одинаковы. Но если яблоко будет двигаться, произойдет замедление времени и$t$и$\tau$не будет прежним. скорость _ $dt/d\tau$это просто замедление времени и ускорение $d^2t/d\tau^2$скорость изменения замедления времени.

Так или иначе, давайте вернемся к вашему яблоку и посмотрим, почему уравнение (1) говорит нам, что оно упадет.

На самом деле рассчитать траекторию довольно сложно. Если вы действительно хотите увидеть, как это делается, в этой статье есть кровавые подробности . Я не буду делать вычисления, я просто покажу вам, почему ОТО говорит нам, что яблоко должно двигаться. Для этого я воспользуюсь уравнением геодезии, чтобы вычислить ускорение в тот момент, когда мы отпускаем яблоко, и показать, что оно не равно нулю.

Начнем с неподвижного яблока, поэтому скорости$dx/d\tau$,$dy/d\tau$и$dz/d\tau$все нулевые. Хотя яблоко не движется в пространстве, оно движется во времени со скоростью одна секунда в секунду, поэтому в тот момент, когда яблоко отпускают$dt/d\tau = 1$(на самом деле это$c$, но мы склонны использовать единицы, в которых$c = 1$.

Итак, оглядываясь назад на уравнение (1), скорости$dx^\alpha/d\tau$и$dx^\beta/d\tau$равны нулю, за исключением случаев, когда$\alpha = \beta = 0$. Таким образом, уравнение (1) упрощается до (помните, что это только в момент отпускания яблока):

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{00} = 0 \tag{2}$$

Беда в том, что координаты, которые я выбрал,$(t, x, y, z)$, не идеальны для (примерно) сферически симметричных гравитационных полей, таких как поле вокруг Земли. Поэтому я собираюсь немного схитрить и предположить, что могу использовать метрику Риндлера для описания кривизны в небольшой области вокруг яблока и нас. мы возьмем$z$быть высотой, поэтому$x$и$y$будет положение на земле.

С этими координатами единственный ненулевой символ Кристоффеля$\Gamma^\mu_{00}$это когда$\mu = 3$, т.е.$\Gamma^3_{00}$, и это имеет значение (в момент освобождения яблока):

$$\Gamma^3_{00} = \frac{g}{c^2}$$

где$g$— гравитационное ускорение (и помните, что мы используем единицы, где$c = 1$). Подставьте это в уравнение (2) и разложите его на четыре отдельных уравнения, и мы получим:

$$\begin{align} {d^2 t \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 x \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 y \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 z \over d\tau^2} &= -g \end{align}$$

И вот наш результат. Таким образом, яблоко не ускоряется вбок, т.е.$x$или$y$направлениях, но ускоряется вниз в$-z$направление. И ускорение вниз просто$g$то есть гравитационное ускорение.

---

^{$^1$даже в плоском пространстве-времени символы Кристоффеля будут ненулевыми, если вы используете изогнутые координаты, например, полярные координаты. Мы упустим это из виду в рамках данного обсуждения.}

У меня нет времени, чтобы написать это должным образом, но меня попросили сделать это ответом. (Я также чувствую, что Джон Ренни собирается опубликовать что-то намного лучшее)

Ключевым моментом является то, что искривлено не пространство, а пространство-время. Яблоко падает, потому что путь с ускорением вниз через пространство-время является геодезической через искривленное пространство, а не «прямой» парящий путь через пространство-время.