Пересекающиеся петли Уилсона в 2D Янга-Миллса

Рассмотрим конечномерные унитарные представления$\alpha,\beta,\gamma$данной компактной группы$G$на соответствующих векторных пространствах$V_1,V_2,V_3$. Позволять$|i\rangle_j,i=1,\dots,n_j$быть ортонормированным базисом$V_j$где$dim V_j=n_j$. Затем$\{|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3\}$образует ортонормированный базис$V=V_1\otimes V_2 \otimes V_3$. Элемент$g\in G$действует на тензорном пространстве произведения$V$как

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3 \to \alpha(g) |i\rangle_1\otimes\beta(g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3 \tag 1$$

Мы также можем найти ортогональный базис$e_{\mu},\mu=1,\dots,N$(где$N=n_1n_2n_3$) из$V$относительно которого все элементы$g \in G$действуют как блочно-диагональные матрицы. Точнее, пусть по базису$\{e_{\mu}\}$, действие элемента$g\in G$на$V$обозначаться как

$$e_{\mu}\to \rho (g)e_\mu \tag 2$$ затем $\rho(g)^{\nu}_{\mu}=\langle \nu|\rho(g)|\mu\rangle$представляет собой блочно-диагональную матрицу, в которой размеры различных блоков $^1$не зависят от $g$. Позволять

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}e_{\mu}\tag 3$$

Действуя с$g\in G$в обеих частях этого уравнения дает

$$\alpha (g)|i\rangle_1\otimes \beta (g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}\rho (g)e_{\mu} \tag 4$$

Взяв скалярное произведение с$|i'\rangle_1\otimes |j'\rangle_2 \otimes |k'\rangle_3$и используя (3) получаем

$$\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu} \rho^{\nu}_{\mu}(g)\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}\tag 5$$

Теперь, согласно теореме Питера-Вейля (часть 2) , матричные элементы неприводимых представлений$G$образуют ортогональный базис пространства функций, суммируемых с квадратом на$G$относительно внутреннего продукта

$$(A,B)=\int_G dg\; A(g)^{*}B(g) \tag 6$$

где$dg$является мерой Хаара. Итак, если мы проинтегрируем обе части (5), ненулевой вклад в RHS будет только от части$\rho$что является прямой суммой тождественных представлений. Другими словами, пусть$W\subseteq V$быть подпространством$V$на которой$G$действует тривиально, и пусть$\{e_1,\dots e_m\}\subseteq$ $\{e_1,\dots e_m,\dots,e_N\}$быть основой$W$, то интегрирование (5) дает

$$\int_G dg\;\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu =1}^{m} \delta^{\nu}_{\mu}\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}=\sum _{\mu =1}^{m}\epsilon^{*\mu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk} \tag 7$$

где мы предположили, что$Vol(G)=\displaystyle\int_G\; dg =1$

Для второй части вашего вопроса я бы рекомендовал вот эти конспекты лекций . Основная идея вычисления средних значений петли Уилсона следующая:

Для поверхности с границей статистическая сумма двумерной теории Янга-Миллса зависит от голономии вдоль границы. Пусть статистическая сумма поверхности рода$h$и одну границу обозначим как$Z_h(U,ag^2)$где$U$— фиксированная голономия вдоль заданной границы,$a$это площадь поверхности и$g$– константа связи Янга-Миллса. Теперь рассмотрим простейшую ситуацию, когда петля Вильсона$W$в представительстве$R_W$вводится по сократительной петле$C$на замкнутой поверхности рода$h$и площадь$a$. Чтобы вычислить среднее значение петли Уилсона, мы сначала разрезаем поверхность вдоль$C$, что дает диск$D$площади (скажем)$b$и другая поверхность$S$площади$c=a-b$, род$h$и одна граница. Теперь среднее значение петли Уилсона дается путем интегрирования по$G$произведение i) статистической суммы$D$ii) статистическая сумма$S$и iii) след петли Вильсона в представлении$R_W$-

$$\langle W\rangle=\frac {1}{Z_h(ag^2)}\int \: dU \:Z_h(U,(a-b)g^2)\chi_{R_W}(U)Z_0(U^{-1},bg^2) \tag 8$$

Случай самопересекающейся петли Вильсона также не сильно отличается.

---

$^1$Наименьшие блоки образуют неприводимые представления$G$; Какие именно неприводимые представления появятся, будет зависеть от$\alpha,\beta,\gamma$; Одни и те же неприводимые представления могут встречаться более одного раза.