SU(N)SU(N)SU(N) Теория Янга-Миллса

Теория Янга-Миллса основана на калибровочной группе$G$что мы принимаем за$SU(N)$. Рассмотрим пример;

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}-\sum_{j=1}^N\bar{\psi}_j(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi_j$$ где $\psi_j$является спинором Дирака в фундаментальном представлении.

Отсюда я сосредоточусь на алгебрах, поэтому$\mathfrak{su}(N)$. Представление этого является гомоморфизмом алгебры Ли$\rho:\mathfrak{su}(N)\rightarrow \mathfrak{gl}(V)$и$V$некоторое векторное пространство.

Я понимаю, как все работает в фундаментальном представлении, но мне трудно понять, как это работает, когда материальные поля также находятся в присоединенном представлении. В этом случае поля теперь представлены$N\times N$матрицы, а также есть$N^2-1$генераторы.

Так, например, если у меня есть мультиплет скалярного поля$\Phi$преобразуя в присоединенном представлении у меня есть

$$\Phi=\phi^a T^a$$ где $T^a$являются генераторами. Так что я $N^2-1$скалярные поля $\phi^a$.

Но в случае$\mathcal{N}=4$ $SU(N)$Супер Ян Миллс У меня шесть скаляров. Таким образом, легко увидеть мультиплет шестикомпонентного поля, который имеет лагранжиан.$SO(6)$симметрия, что она и делает. Но все поля по-прежнему преобразуются в присоединенное представление$SU(N)$. Я не понимаю, как, например, этот шестикомпонентный мультиплет может трансформироваться под присоединенным представителем. Если, конечно, каждый компонент этого мультиплета теперь является полем, переходящим в присоединенный представитель.

В последнем случае я не понимаю, как расширить поля. Например, возьмите один из моих шести скаляров,$\phi_i(x)$и расширить$\phi_i^a(x)T^a$. Теперь какие$\phi_i^a(x)$? Можно предположить, что это скаляры, но это означает, что моя теория на самом деле имеет$6N^2-6$скаляры вместо 6. Может быть, когда мы говорим${\cal N}=4$SYM имеет 6 скаляров, мы имеем в виду 6 мультиплетов скалярного поля, преобразующих сопряженное представление?

Короче говоря; Как поля материи представлены в присоединенном представлении?