Калибровочные поля и строки: уравнения цикла

1. Начнем с неабелевой калибровочной теории. Ковариантная производная

   $$D~=~\mathrm{d}+A, \qquad A~=~\mathrm{d}x^{\mu} A_{\mu},\tag{A}$$ в то время как напряженность поля $$\begin{align} \frac{1}{2}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\wedge\mathrm{d}x^{\nu} ~=~&F~=~D \wedge D\cr ~=~&\frac{1}{2}[D\stackrel{\wedge}{,}D]\cr ~=~&[\mathrm{d},A] + \frac{1}{2}[A\stackrel{\wedge}{,}A]\cr ~=~&\mathrm{d}A + A \wedge A, \end{align} \tag{6.35}$$ $$F_{\mu\nu}~=~\partial_{[\mu}A_{\nu]} + [A_{\mu},A_{\nu}]. \tag{6.36}$$

2. Далее рассмотрим неабелеву линию Вильсона$^1$

   $$U(t_2,t_1)~=~ \left\{\begin{array}{rcl} T\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_1\leq t_2,\cr AT\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_2\leq t_1,\end{array}\right. \tag{7.1'}$$ по (возможно, открытой) кривой$C$. Здесь$(A)T$обозначает (анти)упорядочение во времени . Предположим в дальнейшем для простоты, что$t_1\leq t_2$. Тогда мы можем написать $$U(C)~=~T\exp\left(-\int_C\! A\right) \tag{7.1'}$$ с параметризованной кривой$C:[t_1,t_2]\to\mathbb{R}^4$.

   Линия Вильсона (7.1') является решением следующего ОДУ

   $$\begin{align} \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_2} ~=~&-\dot{x}^{\mu}(t_2) A_{\mu}(t_2) U(t_2,t_1), \cr \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_1} ~=~&U(t_2,t_1)\dot{x}^{\mu}(t_1) A_{\mu}(t_1),\cr U(t_1,t_1)~=~&{\bf 1}.\end{align}\tag{B}$$

3. Сделаем теперь бесконечно малую вариацию кривой$C$к новой кривой$C^{\prime}$. Разнообразная кривая$C^{\prime}$предполагается, что они имеют те же конечные точки, что и$C$, и тот же интервал параметризации$[t_1,t_2]$. Мы можем определить бесконечно тонкую 2-поверхность$\Sigma$с ориентированной границей

   $$\partial \Sigma~=~ C^{\prime}-C \tag{C}$$ дается двумя кривыми$C$и$C^{\prime}$. Это вызывает (пассивное) изменение$\delta A$калибровочного поля$A$.

   NB: Имейте в виду, что две стороны

   $$\int_{C}\! \delta A ~=~ \int_{C^{\prime}}\! A-\int_{C} \!A ~=~ \oint_{\partial\Sigma} \!A ~=~ \iint_{\Sigma}\! \mathrm{d} A \tag{D}$$ и $$\iint_{\Sigma}\! F ~=~ \int_C\! \delta x^{\mu} F_{\mu\nu} \mathrm{d} x^{\nu} \tag{E}$$ теоремы Стокса о циркуляции не обязательно равны для неабелевых калибровочных полей.$^2$

4. Бесконечно малое (пассивное) изменение голономии есть

   $$\begin{align} \delta U(C)~=~~~~&U(C^{\prime})-U(C)\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}~~&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right)\int_C\! \delta A\right]\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}~~&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\delta[\dot{x}^{\mu}(t)A_{\mu}(t)]U(t,t_1)\cr ~=~~~~&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[\frac{d\delta x^{\mu}(t)}{dt}A_{\mu}(t)+\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t)\right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}& \text{bulk terms} ~+~ \text{boundary terms},\end{align}\tag{F}$$ где $$\begin{align} \text{bulk}&\text{ terms}\cr ~=~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \frac{\stackrel{\leftarrow}{d}}{dt}\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{A}_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\frac{\stackrel{\rightarrow}{d}}{dt} \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t)\partial_{\nu}A_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta x^{\nu}(t)\partial_{\nu} A_{\mu}(t) -\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t) \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(6.36)}{=}&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t) \dot{x}^{\mu}(t) F_{\mu\nu}(t)\delta x^{\nu}(t) U(t,t_1)\cr ~=~&T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \int_C\! F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu} \delta x^{\nu}\right] \cr ~\stackrel{(E)}{=}~&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \iint_{\Sigma}\! F\right] ,\end{align}\tag{7.25'}$$
   и $$\begin{align} \text{boundary terms}~=~&-\left[U(t_2,t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)U(t,t_1)\right]_{t=t_1}^{t=t_2}\cr ~=~& U(t_2,t_1)\delta x^{\mu}(t_1)A_{\mu}(t_1) -\delta x^{\mu}(t_2)A_{\mu}(t_2)U(t_2,t_1)\cr ~\stackrel{(H)}{=}~&0,\end{align}\tag{G}$$ так как конечные точки не меняются $$\delta x^{\mu}(t_1)~=~0~=~\delta x^{\mu}(t_2).\tag{H}$$ уравнение (7.25') отвечает на главный вопрос ОП об уравнении. (7.25). Знаки минус вызваны различными соглашениями о знаках.

Использованная литература:

1. А. М. Поляков, Калибровочные поля и струны, 1987; Глава 7.

--

$^1$Линия Уилсона — это голономия на физическом жаргоне . Если кривая$C$замкнута, мы говорим о петле Вильсона, а не о линии Вильсона. Мы предпочитаем использовать упорядочение по времени, а не по путям, поскольку последнее неоднозначно. Ссылка 1. использует порядок путей $P$слева направо,

$$\Psi(C)~:=~ P e^{\int_{C} \!A}, \tag{7.1}$$

что индуцирует противоположный знак перед калибровочным полем$A$по сравнению с ур. (7,1').

$^2$Отметим для полноты, что существует неабелева теорема Стокса , которая принимает возведенный в степень вид

$$P\exp\oint_{\partial\Sigma} \! A~=~ P_2\exp\iint_{\Sigma}\! F. \tag{I}$$

Это зависит от выбора упорядочения поверхности$P_2$.

Рассмотрим неабелев фазовый фактор вокруг замкнутого пути$C$,

$$\begin{equation} \psi(C) = \mathrm{P} e^{\oint A_\mu dx^\mu} = \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \end{equation}$$ Возьмем функциональную производную по $x^\mu(s)$ $$\begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) %& = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\nu (x(t))\delta^\nu_\mu \dot{\delta}(s-t) \right] e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \\ & = \int_0^{2\pi} dt \, \left\{ \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\mu (x(t))\dot{\delta}(s-t)\right] \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu \dot{x}^\nu} \right\} \end{align}$$ Теперь интегрируем по частям $t$-производная дельта-функции, $$\begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) & = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu]\right)_{x(t)} \dot{x}^\nu(t)\delta(s-t) \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \notag \\ & \quad + \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}A_\mu(x(2\pi))\delta(s-2\pi) - A_\mu(x(0))\mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}\delta(s) \\ & = \mathrm{P}e^{\int_0^{s} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} F_{\mu\nu}(x(s)) \dot{x}^\nu(s)\mathrm{P}e^{\int_s^{2\pi} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} \end{align}$$ где мы отбросили граничные члены по периодичности.