Периметр и площадь правильного n-угольника.

Мой друг спросил меня, как получить площадь и периметр регулярного н -угольник с радиусом р для дизайн-проекта, над которым он работает. Я придумал это, но я хочу убедиться, что не сделал никаких ошибок, прежде чем отдать его ему.

Во-первых, я предположил, что н -угольник вписан в окружность радиуса r с центром в начале координат, причем первая вершина окружности находится в точке ( р , 0 ) .

Вершины н -gon разделит круг на н равные участки. Так как полный угол окружности 2 π , то угол между Икс -ось, а вторая вершина 2 π н . Используя тригонометрию, координаты этой вершины равны ( р потому что ⁡ ( 2 π н ) , р грех ⁡ ( 2 π н ) ) .

Теперь начало координат, первая вершина и вторая вершина образуют треугольник. Ребро этого треугольника, касающееся окружности в двух местах, по формуле расстояния будет иметь длину р ( потому что ⁡ ( 2 π н ) − 1 ) 2 + ( грех ⁡ ( 2 π н ) ) 2 .

Сейчас н -gon будет состоять из н этих треугольников, поэтому периметр равен: н р ( потому что ⁡ ( 2 π н ) − 1 ) 2 + ( грех ⁡ ( 2 π н ) ) 2 .

Теперь треугольник имеет основание р и высота р грех ⁡ ( 2 π н ) . Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, поэтому площадь треугольника равна р 2 грех ⁡ ( 2 π н ) 2 .

Опять же, н -гон состоит из н этих треугольников, поэтому его площадь равна: н р 2 грех ⁡ ( 2 π н ) 2

р не является стороной многоугольника. Наверняка ваш друг спрашивает формулу длины стороны, хотя вы тоже почти угадали. Ваш ответ верен до сих пор.
Нет. Это должно быть с точки зрения радиуса.
Да, во всяком случае, но я не вижу смысла спрашивать формулу в терминах радиуса, если только многоугольник не должен быть вписан в круг или что-то в этом роде. Сторона кажется более естественной для определения площади многоугольника.

Ответы (2)

Рассмотрим правильный многоугольник с длиной стороны с вписан в окружность с радиусом р . Позволять θ быть мерой центрального угла, опирающегося на сторону правильного многоугольника, как показано на рисунке ниже.

обычный_гексагон_вписанный_в_круг

Как вы заметили, поскольку полный оборот 2 π радианы, каждый центральный угол, опирающийся на сторону вписанного правильного многоугольника с н стороны имеют меру

θ "=" 2 π н
Каждый треугольник, образованный путем соединения центра окружности с соседними вершинами вписанного правильного многоугольника, является равнобедренным, поскольку отрезки, соединяющие центр с вершинами, являются радиусами окружности.

Рассмотрим более внимательно треугольник, образованный соединением центра круга с соседними вершинами правильного многоугольника. Если мы проведем высоту от угла при вершине до основания равнобедренного треугольника, она разделит пополам угол при вершине и основание, как показано на рисунке ниже.

side_of_regular_polygon_inscribed_in_a_circle

Периметр правильного многоугольника с н стороны длины стороны с является п "=" н с . С

с 2 "=" р грех ⁡ ( θ 2 )
и
θ 2 "=" 1 2 ⋅ 2 π н "=" π н
у нас есть
с 2 "=" р грех ⁡ ( π н ) ⟹ с "=" 2 р грех ⁡ ( π н )
Следовательно, периметр правильного многоугольника равен
п "=" н с "=" н [ 2 р грех ⁡ ( π н ) ] "=" 2 н р грех ⁡ ( π н )
Обратите внимание, что длина высоты треугольника равна
а "=" р потому что ⁡ ( θ 2 ) "=" р потому что ⁡ ( π н )
Следовательно, площадь, заключенная в треугольнике, равна
А △ "=" 1 2 с а "=" 1 2 [ 2 р грех ⁡ ( π н ) ] [ р потому что ⁡ ( π н ) ] "=" 1 2 р 2 [ 2 грех ⁡ ( π н ) потому что ⁡ ( π н ) ] "=" 1 2 р 2 грех ⁡ ( 2 π н )
Так как площадь, ограниченная правильным многоугольником, состоит из н таких треугольных областей площадь, ограниченная правильным многоугольником, равна
А "=" 1 2 н р 2 грех ⁡ ( 2 π н )
что согласуется с ответом, который вы получили, взяв одну из сторон за основание треугольника.

Площадь треугольника А Б С можно рассчитать как А Б * А С * грех ⁡ ( Б А ^ С ) 2 . Теперь разделите ваш n-многоугольник на n треугольников, примените формулу и получите ту же формулу.

Периметр и площадь правильного n-угольника.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v