Построить круги так, чтобы они касались двух заданных

Question

Построить круги так, чтобы они касались двух заданных

круги
геометрия
Математика
тригонометрия

Анонимный

У нас есть два заданных круга (выделены зеленым на иллюстрации ниже). Центр первого круга находится $A=(x_A,y_A)$ и его радиус $r_a$ . Центр второго круга находится $B=(x_B,y_B)$ и его радиус $r_b$ .

Как мы можем вычислить центр $C=(x_C,y_C)$ кругов, которые касаются двух заданных (как это делает выделенный оранжевый круг)? Возможно, существуют две кривые, на которых лежит бесконечное число центров таких окружностей:

одна кривая, на которой лежат центральные точки «маленьких кружков» (например, апельсина)
одна кривая, на которой лежат центральные точки «больших кругов» (большие круги, охватывающие два зеленых круга)

Вот что я пробовал: Нарисуйте прямую линию $AB$ а затем отметьте две точки $A'$ и $B'$ с расстоянием $r_C$ каждый из периферии двух заданных окружностей на прямой линии.

Как найти простую формулу (или даже неявную кривую) для центра $C$ желаемого круга(ов)?

пользователь10354138

Таких бесконечно много

C

$C$ и круги.

пользователь736865

Хорошо - это то, чего я не ожидал, но это здорово. Спасибо за эту подсказку! Можем ли мы тогда найти формулу для всех центральных точек этих кругов?

C_{k}

$C_k$ ? Эти центральные точки должны образовывать линию или кривую?

пользователь10354138

The

C_{k}

$C_k$ все лежит на одной ветви гиперболы с фокусами

A, B

$A,B$ .

пользователь736865

Интересный! Я больше думал о другом «большом круге», включающем эти два зеленых в качестве дополнительного решения. Для этого большого круга вложения - существуют ли бесконечно решения?

пользователь736865

Я соответствующим образом скорректировал вопрос. Ваша подсказка была важна - спасибо!

пользователь10354138

Все еще гипербола с теми же фокусами, так как это

C A \pm r_{A} = C B \pm r_{B}

$CA\pm r_A=CB\pm r_B$ , выбор каждого

\pm

$\pm$ зависит от того, хотим ли мы круг

C

$C$ коснуться круга

A

$A$ (или

B

$B$ ) внутри или снаружи. Все четыре комбинации дают вам четыре ответвления двух гипербол (если

r_{A} = r_{B}

$r_A=r_B$ Вы получаете серединный перпендикуляр к

A B

$AB$ плюс гипербола).

Ответы (1)

Построить круги так, чтобы они касались двух заданных

Таких бесконечно много $C$ и круги.
Хорошо - это то, чего я не ожидал, но это здорово. Спасибо за эту подсказку! Можем ли мы тогда найти формулу для всех центральных точек этих кругов? $C_k$ ? Эти центральные точки должны образовывать линию или кривую?
The $C_k$ все лежит на одной ветви гиперболы с фокусами $A,B$ .
Интересный! Я больше думал о другом «большом круге», включающем эти два зеленых в качестве дополнительного решения. Для этого большого круга вложения - существуют ли бесконечно решения?
Я соответствующим образом скорректировал вопрос. Ваша подсказка была важна - спасибо!
Все еще гипербола с теми же фокусами, так как это $CA\pm r_A=CB\pm r_B$ , выбор каждого $\pm$ зависит от того, хотим ли мы круг $C$ коснуться круга $A$ (или $B$ ) внутри или снаружи. Все четыре комбинации дают вам четыре ответвления двух гипербол (если $r_A=r_B$ Вы получаете серединный перпендикуляр к $AB$ плюс гипербола).

Папа · Answer 1

Учитывая непересекающиеся окружности и неравные радиусы, геометрическое место центров состоит из двух гипербол. Начните с пересечения оси с обеими окружностями. Пусть он пересекает окружность $A$ в $A_1$ и $A_2$ , и обведите $B$ в $B_1$ и $B_2$ , как показано здесь, где $A_1$ и $B_1$ находятся между двумя центрами.

Позволять $K$ быть серединой $A_2B_2$ , и $L$ середина $A_1B_1$ . Позволять $P$ быть центром окружности, касательной к обоим внешне или касающейся обоих внутри. Это соотношение следует:

$(PA - PB)^2 = (r_a-r_b)^2$

местонахождение $P$ представляет собой гиперболу с фокусами $A$ и $B$ . Точки $K$ и $L$ оба удовлетворяют условию $P$ , и они лежат на оси, так что это вершины.

Теперь начните снова. Позволять $M$ быть серединой $A_2B_1$ , и $N$ середина $A_1B_2$ . Позволять $Q$ быть центром окружности, касательной снаружи к одной из данных окружностей и касающейся внутри другой. Это соотношение следует:

$(QA - QB)^2 = (r_a+r_b)^2$

местонахождение $Q$ также является гиперболой с фокусами $A$ и $B$ . На этот раз вершины находятся в $M$ и $N$ .

Другими случаями для исследования будут пересекающиеся круги или конгруэнтные круги.

Спасибо за эту прекрасную иллюстрацию! Было бы хорошо, если бы вы добавили рисунок, где красный круг полностью вписан в два зеленых круга. Насколько я понимаю, центр такой окружности будет лежать на левой гиперболической кривой, изображенной на вашей первой фигуре - верно?. Или, может быть, вы можете расширить свою первую фигуру, добавив такой большой круг.
Да, как вы сказали, любая точка на левой ветви этой первой гиперболы является центром окружности, касающейся обеих данных окружностей и охватывающей их обе. Оба эскиза нарисованы довольно точно, поэтому вы можете убедиться в этом, распечатав их или вставив изображение в какое-нибудь программное обеспечение для геометрии. Я не хотел еще больше загромождать набросок. На самом деле, я даже не знаю, зачем я заморачивался с этими пересечениями осей и вершинами. Еще один случай, который вы можете рассмотреть, будет иметь один данный круг полностью внутри другого.
Спасибо за подтверждение! Могу я спросить, какой инструмент вы использовали для этих замечательных сюжетов?
Это было сделано с помощью блокнота The Geometer's Sketchpad, до сих пор являющегося моим любимым оружием.

Построить круги так, чтобы они касались двух заданных

Анонимный

пользователь10354138

пользователь736865

пользователь10354138

пользователь736865

пользователь736865

пользователь10354138

Ответы (1)

Папа

пользователь736865

Папа

пользователь736865

Папа

пользователь736865

Максимизация угла на основе определенных ограничений

Среднее нечетного числа равноотстоящих точек на окружности

В треугольнике ABCABCABC R=56BH=52OHR=56BH=52OHR = \frac56 BH = \frac52OH. Найдите углы ACBACBACB или BACBACBAC.

Как найти конечную точку дуги по другой конечной точке, радиусу и направлению дуги?

Доказательство того, что центр описанной окружности лежит на высоте

Окружность, касающаяся трех касательных окружностей

Вращение точки на окружности с известным радиусом и положением

Округлить угол треугольника с определенным радиусом

Попарно пересекающиеся окружности R,G,BR,G,BR,G,B имеют совпадающие общие хорды?

Используя дискриминант, найдите уравнение касательных к окружности.