Моделирование одновременного вращения объекта вокруг фиксированной точки при ограниченных ресурсах.

Извини, Люк, я не думаю, что твое решение работает. У вас должно быть строгое решение, основанное на математике вращений. Проще всего это сделать с помощью кватернионов или, что еще лучше, их аналогов из алгебры Клиффорда, называемых роторами .

Я кратко объясню роторы алгебры Клиффорда и то, как их можно использовать для преобразования последовательных вращений в чистое вращение.

---

Алгебра Клиффорда

Алгебра Клиффорда вводит произведение векторов, которое некоммутативно, но все же ассоциативно. Если вы знакомы с точечным и перекрестным произведением, оно включает в себя свойства обоих. Учитывая ортогональный базис$e_1, e_2, e_3$, имеем следующее:

$$e_i e_j = \begin{cases} +1 & i = j \\ -e_j e_i & i \neq j \end{cases}$$

Опять же, это тоже ассоциативно, так что$e_1 e_2 e_3 = (e_1 e_2) e_3 = e_1 (e_2 e_3)$например. Это создает 8-мерное векторное пространство со следующими базовыми элементами:

$$1 \\ e_1, e_2, e_3 \\ e_1 e_2, e_2 e_3, e_3e_1 \\e_1 e_2 e_3$$

Скалярные кратные$1$являются скалярами. Линейные комбинации$e_1, e_2, e_3$являются векторами. Линейные комбинации$e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1$называются бивекторами , и они представляют интерес для вращений. Вращения происходят в плоскостях (только в 3D мы можем сказать, что они вращаются вокруг оси, что эквивалентно), и бивекторы непосредственно описывают плоскости, в которых происходят вращения.

---

Роторы и вращения

Я заявлю следующее без доказательств, хотя это должно быть знакомо любому, кто хоть немного разбирается в кватернионах.

Задайте ротор как экспоненту бивектора (обычно определяемого через степенной ряд). Позволять$B$быть некоторым единичным бивектором. Затем ротор$q = \exp(Bt)$для некоторого скаляра$t$является

$$q = \exp(Bt) = \cos t+ B \sin t$$

Карта вращения$\underline R$в плоскости, соответствующей$B$под углом$\theta$принимает форму

$$\underline R(a) =e^{-B\theta/2} a e^{B\theta/2}$$

где$a$любой вектор.

(Примечание: для тех, у кого есть опыт работы с кватернионами,$i = -e_2 e_3$,$j = -e_3 e_1$, и$k = -e_1 e_2$, так что в этом определении нет расхождений по знаку.)

---

Применение: нахождение чистого вращения

Использование роторов упрощает математический анализ вращения. Например, давайте рассмотрим вашу проблему: ваши функции вращения вращают глобальную систему координат и сами используют глобальную систему координат в качестве системы отсчета для этих поворотов. Это делает последовательность вращений несколько нетривиальной, но роторы позволяют нам найти более простой способ делать вещи.

Позволять$e_x, e_y, e_z$быть исходным кадром. Если вы хотите повернуть вокруг оригинала$e_x$а потом про оригинал$e_y$, тогда ваши роторы будут выглядеть так:

$$q_\text{net} = \exp(-e_ze_x \phi/2) \exp(-e_y e_z \theta/2) = q_y q_x$$

Затем мы можем умножить это, чтобы найти чистую плоскость вращения и чистый угол.

$$q_\text{net} = \cos \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} - e_z e_x \sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} - e_y e_z \cos \frac{\phi}{2} \sin \frac{\theta}{2} + e_x e_y \sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{\phi}{2}$$

Мы можем найти чистый угол поворота$\alpha$к

$$\cos\frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2}$$

Давайте рассмотрим случай, как вы предложили,$\phi = \theta = \pi/2$. Тогда у нас должно быть

$$\cos\frac{\alpha}{2} =\left (\cos\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \implies \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{3}$$

или$\alpha = 2\pi/3 = 120^\circ$.

Чистая плоскость вращения$(e_y e_z + e_z e_x - e_x e_y)/\sqrt{3}$, или вращение вокруг оси$(e_x + e_y - e_z)/\sqrt{3}$.

Изменить: имея это в виду, вот что вам нужно сделать.

• Для каждого поворота в последовательности поворотов определите угол поворота$\theta$и единичная плоскость$\hat B$. Например, если вы хотите вращаться вокруг$e_x$направлении, то плоскость вращения$e_y e_z$.
• Запишите соответствующий ротор для каждого из этих вращений как$q = \cos \theta/2 - \hat B \sin \theta/2$.
• Напишите функцию умножения роторов. Каждый ротор состоит только из четырех компонентов и представляет собой линейную комбинацию$1, e_x e_y, e_y e_z, e_z e_x$. Используя правила, которые я изложил во втором разделе, вычислите таблицу умножения для этих базовых элементов. (Или схитрить и найти таблицу умножения кватернионов.)
• Умножьте отдельные роторы, чтобы найти чистый ротор комбинированного вращения.
• Учитывая этот ротор, найти угол$\phi$и плоскость вращения$\hat b$для чистого оборота. Опять же, помните, что ротор можно записать как$q = \cos \phi/2 - \hat b \sin \phi/2$. Это означает, что вы можете взять скалярную часть и использовать арккосинус, чтобы найти$\phi$. Вы можете взять оставшиеся компоненты и нормализовать их как бивектор (так же, как и вектор), чтобы найти единичную плоскость вращения.

Мое решение

Всем в разделе комментариев я хотел бы поблагодарить вас за вашу помощь, поскольку вы привели меня к решению!

Итак, как вы сказали, моя интуиция была неверной, и вращения вокруг нескольких осей не коммутируют.

Чтобы было совершенно ясно, с чем я работаю, я хочу повторить, что значения, передаваемые в мою функцию, представляют желаемое чистое вращение в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.

поэтому, когда я попробовал rotate2D(90,90), я не получил поворот на 90 градусов в каждом направлении, а скорее компромисс между ними. Другими словами, я пытался использовать длину одной из малых сторон треугольника в качестве его гипотенузы!

Поскольку у меня есть величина каждой малой стороны при вызове функции, я могу просто использовать теорию Пифагора, чтобы определить, какой должна быть длина гипотенузы. Прочитав комментарии, я считаю, что эта гипотенуза эквивалентна единичному вектору результирующего вращения. (пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь в этом вопросе.)

Таким образом, используя теорию Пифагора, чтобы определить, как долго продолжать последовательность поворотов на 0,1 градуса на основе желаемых чистых поворотов в горизонтальном и вертикальном направлениях, я могу достичь желаемых результатов!

Вот новый код:

void rotate2D(float horizontal, float vertical)
{ 
  float[] rotations ={horizontal, vertical};
  if(rotations[0]>rotations[1])
  {
    float tmp = rotations[1];
    rotations[1]=rotations[0];
    rotations[0]=tmp;
  } 

  float c= sqrt(pow(rotations[0],2)+pow(rotations[1],2));
  float cIncr=0.1;
  float hIncr=(horizontal/(c/cIncr));
  float vIncr=(vertical/(c/cIncr));
  for(float i=0; i<c; i+=cIncr)
  {    
     rotateY(radians(hIncr));
     rotateX(radians(vIncr));
  }   
}

РЕДАКТИРОВАТЬ: оказалось, что этот метод не работает, в моем методе тестирования был недостаток, но он ДЕЙСТВИТЕЛЬНО производит визуально приятные вращения для моих целей.