Средняя площадь тени квадрата

Этот вопрос исходит из моей попытки решить проблему средней площади куба нетрадиционным способом. Поскольку тень куба состоит из теней трех его квадратных граней, я пытаюсь вычислить среднюю площадь теней каждого из этих квадратов, умножить ее на три и получить ответ$\frac{3s^2}{2}$. Это означает, что средняя площадь тени квадрата должна быть$\frac{s^2}{2}$, что имеет интуитивно понятный смысл, но я хочу доказать это математически, что у меня с трудом получается. Вот моя работа на данный момент:

Рассмотрим квадрат$\mathrm{S}$с длинами сторон$s$это поднято в обоих$\mathrm{x}$и$\mathrm{y}$направления по$\theta_1$и$\theta_2$степени с уважением. Тогда для этих$\theta$значения, площадь квадрата становится$s^2\mathrm{cos}\theta_1\mathrm{cos}\theta_2$, как можно определить с помощью тригонометрии (прямоугольный треугольник с гипотенузой$s$, угол$\theta$, и сторона$x$смежный с углом дает$x=s\mathrm{cos}\theta$). Среднее значение$\mathrm{cos}\theta$на интервале$[0, \pi/2]$является$\frac{\sqrt{2}}{2}$(появляется в$\frac{\pi}{4}$).

Вот часть, которую я не совсем понимаю:

Позволять$\mathrm{A(S_{(\theta_a, \theta_b)})}$быть функцией квадрата$\mathrm{S}$который был поднят$\theta_a$и$\theta_b$на$\mathrm{x}$-ось и$\mathrm{y}$-оси соответственно. Чтобы найти среднюю площадь этого квадрата, мы можем сделать следующее:

$$\frac{\iint_R \mathrm{A(S_{(\theta_a, \theta_b)})}dA}{R_{area}}, \{R\in\mathbb{R}^2 \vert R = [0,\frac{\pi}{2}] \times [\frac{\pi}{2}]\} \\ = \frac{s^2\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\mathrm{cos}\theta_1\mathrm{cos}\theta_2d\theta_1d\theta_2}{\frac{\pi^2}{4}} \\ = \frac{4s^2}{\pi^2}$$ Это не дает того результата, который я ищу, поэтому мне интересно, где я напортачил в своем логическом выводе. Могу ли я просто взять медианное значение$\mathrm{cos}x$над$[0,\frac{\pi}{2}]$? Если это так, это устраняет необходимость в интеграле, но кажется простым и не объясняет, почему они противоречат друг другу. Заранее спасибо.