Плотность вероятности обнаружения коллинеарно излучаемых фотонов двумя детекторами

Обновление :
по предложению @dmckee я добавил номера уравнений и улучшил отображение некоторых уравнений.

Ответ @Trimok вдохновил меня взглянуть на системы координат, которые не являются специфическими для местоположения детектора, а являются более общими, и это действительно прояснило ситуацию, поскольку$\delta(\cos \theta + 1)$это$\delta(\cos \theta + \cos 0)$в маскировке.

У нас есть соотношение между дельтой Дирака луча в сферических координатах,$\delta^2$, и дельта Дирака точки,$\delta^3 = \delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta)$, такой, что

$\delta^2 = \int_0^\infty \delta^3 \operatorname{d}r_0 = \delta(\theta-\theta_0) \delta(\phi-\phi_0) / (r^2 \sin\theta) \tag{E1}$

(Используя это определение, можно легко показать, что свойство просеивания$\delta^2$выполняется, и результатом является линейный интеграл некоторого$f$.)

Основная проблема (понимания), с которой я столкнулся, теперь сводится к следующему: у нас есть два выражения для$\delta^3$, которые$\delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta) \tag{E2}$и$\delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r_0^2 \sin \theta_0) \tag{E3}$Они полностью симметричны в$x$и$x_0$(Обратите внимание, что$\delta$является четной функцией).

Однако для$\delta^2$у нас есть$\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta) \tag{E4}$и$\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta_0) \tag{E5}$которые уже не являются симметричными. Так что же делает$r$выделиться по сравнению с$r_0$?

Одно из объяснений, которое я разработал с помощью коллеги, направлено на тот факт, что$r_0$после интегрирования, так что при любом$r_0$будет «переопределять» набор лучей, проходящих через начало координат. Есть ли у кого-нибудь лучшее (например, более интуитивное) объяснение, почему здесь теряется симметрия?

Спасибо!

Оригинальный вопрос :
Это длинный вопрос. Я работаю над этим уже довольно давно, поэтому я обобщил большую часть того, что узнал. Однако я застрял в определенном месте, и было бы здорово, если бы кто-нибудь мог мне помочь.

Предположим следующую ситуацию: Два совершенно коллинеарных фотона$p_1$и$p_2$испускаются в начале некоторой декартовой системы координат. Рассмотрим два бесконечно малых детектора$d_1$и$d_2$, с поверхностями$\operatorname{d}\!A_1$и$\operatorname{d}\!A_2$направлены к началу координат, так что нам не приходится иметь дело с углами. Телесные углы этих детекторов$\operatorname{d}\!\Omega_1$и$\operatorname{d}\!\Omega_2$.

Теперь я выражаю некоторые базовые плотности вероятности обнаружения, где$p_id_i$Значит это "$p_i$излучается в сторону$d_i$".
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_1}=\frac{1}{4\pi} \tag{1}$

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_1}=\frac{1}{4\pi (r_1)^2} \tag{2}$

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}=\frac{1}{4\pi} \tag{3}$

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{1}{4\pi (r_2)^2} \tag{4}$

Я думаю, нет сомнений в том, что эти вероятности хорошо определены, и интегральные вероятности обнаружения в сферическом$4\pi$-детектор равен 1, независимо от его радиуса. Таким образом, фотон наверняка испускается в сторону детектора, окружающего источник.

Теперь по какой-то причине мы хотим вычислить$P(p_2d_2 | p_1d_1)$, условная вероятность$p_2$излучается в сторону$d_2$, при условии$p_1$был испущен в сторону$d_1$. Из-за коллинеарности фотонов отдельные события не являются независимыми:$P(p_2d_2 | p_1d_1) \neq P(p_2d_2)$.

Я сейчас это предлагаю

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} = \frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi}, \tag{5}$

где$\theta_2(d_1)$- полярный угол положения$d_2$выражается в сферических координатах с полярной осью от начала координат через$d_1$.$\delta$является функцией Дирака, поэтому очевидно, что это выражение равно 0, если$\cos \theta_2(d_1) \neq -1$, то есть когда$\theta_2(d_1) \neq \pi$.

Мы можем проверить, что интеграл этой вероятности по сферическому$4\pi$-детектор$d_2$равно 1: с$\operatorname{d}\!\Omega_2 = \operatorname{d}\!\cos \theta_2(d_1) \operatorname{d}\!\phi_2(d_1)$, мы нашли

$\int \frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} \operatorname{d}\!\Omega_2 = \int \frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi} \operatorname{d}\!\Omega_2 \tag{6}$

$= \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \operatorname{d}\!\phi_2(d_1) \cdot \int_0^\pi \delta(\cos \theta_2(d_1)+1) \operatorname{d}\!\cos \theta_2(d_1) = 1. \tag{6}$

Так$p_2$по-прежнему обязательно излучается в направлении детектора, окружающего источник, независимо от того, где$p_1$излучается навстречу.

Далее, мы хотели бы проверить выполнение закона полной вероятности путем интегрирования$P(p_1d_1 \wedge p_2d_2) = P(p_2d_2 | p_1d_1) \cdot P(p_1d_1)$над сферическим$4\pi$-детектор$d_1$. Это работает независимо от того, какая формулировка$\operatorname{d}\!P(p_1d_1)$(относительно$\operatorname{d}\!\Omega_1$или$\operatorname{d}\!A_1$) мы используем -- я выбрал$\operatorname{d}\!A_1 = (r_1)^2 \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) \operatorname{d}\!\phi_1(d_2)$здесь.

Обратите внимание, однако, что интегрирование по$d_1$изменяет полярную ось, используемую в формулировке$\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)$выше, поэтому нам нужна другая, но эквивалентная формулировка. Это больше, чем смена системы координат (с одной полярной оси на другую), т.к.$\theta_2(d_2)$нам бы не очень помогло (это 0). Вместо этого можно использовать

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}=\frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi}, \tag{7}$

который использует как другую переменную в аргументе$\delta$а также другую систему координат:$\theta_1(d_2)$полярный угол детектора$d_1$положение в сферических координатах с полярной осью от начала координат до$d_2$. Обратите внимание, что оба выражения$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$симметричны по индексам 1 и 2.

Наконец, мы приходим к

$\int \frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1 \wedge p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_1 \operatorname{d}\!\Omega_2} \operatorname{d}\!A_1 = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{1}{4\pi (r_1)^2} \cdot \frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi} (r_1)^2 \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) \operatorname{d}\!\phi_1(d_2) \tag{8}$

$= \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \operatorname{d}\!\phi_1(d_2) \cdot \int_0^\pi \delta(\cos \theta_1(d_2)-1) \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) = \frac{1}{4\pi} = \frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} \tag{8}$

Итак, закон полной вероятности выполняется: вероятность$p_2$излучается в сторону$d_2$можно разбить на все условные вероятности$p_2$излучается в сторону$d_2$ при условии $p_1$был испущен в сторону$d_1$, взвешенная по вероятности того, что$p_1$на самом деле излучается в сторону$d_1$.

Все идет нормально. Поздравляю, что дочитали до этого момента :)

Как сказано выше (и сравнительно легко проверяемо), не имеет значения, какая формулировка$\operatorname{d}\!P(p_1d_1)$Я использую - оба$\operatorname{d}\!\Omega_1$и$\operatorname{d}\!A_1$работать нормально. Однако, когда я пытаюсь основывать свои расчеты на$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_2}$вместо$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$, следовательно, я пытаюсь вычислить$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}$вместо$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$, я прихожу к следующей проблеме.

Итак, я начал с

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi (r_2)^2}, \tag{9}$

и (6) по-прежнему легко проверяется (интегрированием по$\operatorname{d}\!A_2$), так как два дополнительных$(r_2)^2$просто отменить.

Однако работа (8) теперь более сложна, когда речь идет о переходе от одной переменной/системы координат к другой. я так понял

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi (r_2)^2} \tag{10}$

является выражением, удовлетворяющим полной вероятности (при необходимости могу это показать), но теперь мне интересно, почему оно не симметрично первому выражению по индексам 1 и 2 (как это было выше). В частности, мне интересно, где связь с дираковским лучом вдоль Оз в сферических координатах, то есть$\frac{\delta(\cos \theta - 1)}{2\pi r^2}$(сравните http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=215263 )

В общем, я работаю над выражением плотности вероятности в 3D, поэтому я ожидаю получить что-то вроде$\operatorname{d}\!\Omega_2 \cdot \delta_{L(x_1, x_2)}(x_0)$или$\operatorname{d}\!A_2 \cdot \delta_{L(x_1, x_2)}(x_0)$, где$L(x_1, x_2)$это отрезок от$x_1$и$x_2$, и$x_0$является точкой выброса.

Итак, мои конкретные вопросы:

• Почему выражения связаны$\operatorname{d}\!A_2$не симметричны, а те, которые включают$\operatorname{d}\!\Omega_2$являются?

• Конкретно, где связь с дираковским лучом в сферических координатах, который включает в себя$r^2$и который я ожидаю изменить при преобразовании из одной системы координат в другую.

• Как (еще) я могу получить трехмерную плотность вероятности, включающую три местоположения, которую можно использовать для интегрирования по всем трем объемам, чтобы описать количество совпадений, обнаруженных по излучениям объема в двух конечных детекторах?