Почему астероиды с нулевым наклоном орбиты редки?

Краткий ответ: нехватка астероидов с наклонением, близким к нулю, является ожидаемым результатом нормально распределенных наклонений в 3-х измерениях относительно вектора нормали к плоскости отсчета, а не смещения отбора или «очищения» орбиты вокруг нулевого наклонения.

Длинный ответ: наклонение орбиты обычно определяется как угол между базовой плоскостью и плоскостью орбиты:

Эквивалентное определение - это угол между нормалью к базовой плоскости и осью вращения тела, находящегося на орбите, наложенного здесь:

Обратите внимание, что ось вращения может быть сопоставлена ​​с точкой на небесной сфере. Мы можем сгенерировать гауссово распределение точек на единичной сфере со средним значением в опорной нормали, используя распределение фон-Мизеса Фишера . Конкретный алгоритм генерации точек выборки приведен на Stack Overflow .

Вот группа из 20 точек пересечения оси вращения с соответствующими им круговыми орбитами:

Мы можем сгенерировать и нанести тысячу точек на единичную сферу (которую я поворачиваю, чтобы показать структуру):

Обратите внимание, что только самые верхние точки этого распределения соответствуют углам наклона, близким к нулю. По мере увеличения наклона точки становятся менее плотными, но площади на единичной сфере увеличиваются. На приведенном ниже графике вид сверху на Северный полюс, при этом орбиты с наклонением менее 2 градусов окрашены в красный цвет, а орбиты с наклонением от 2 до 4 градусов окрашены в зеленый цвет. Обратите внимание, что хотя точки наиболее плотны на полюсе, покрываемая площадь наименьшая, поэтому 13 точек — красные, а 50 — зеленые. Это объяснение того, почему мы видим очень мало орбит астероидов с наклоном менее 1/2 градуса от исходного вопроса.

Ниже приведен график с осью Y в качестве наклона и осью X в виде долготы по сравнению с постом OP. Я выбрал стандартное отклонение, которое было слишком большим, но Монте-Карло с 1000 точками демонстрирует тот же статистический эффект, о котором спрашивал ОП.

Примечания:

1. Приведенный выше пример предназначен для круговых эллипсов с одинаковым SMA для удобства, но я не думаю, что мы теряем какую-либо общность.

2. Я предполагаю, что эталонная плоскость на изображении, используемом OP, является эклиптикой Земли, но приведенный выше ответ работает для экваториальной плоскости Солнца, орбитальной плоскости Юпитера или любой другой близкой эталонной плоскости. Мы можем предположить, что 2D среднее значение распределения наклонения астероидов на самом деле будет немного смещено от любого выбора нормали к плоскости отсчета.

3. Орбитальная механика может быть очень неинтуитивной. Наклон является одномерным значением, но его репрезентативное базовое распределение вероятностей лучше всего моделировать на двумерной сферической поверхности в трехмерном пространстве.

4. Несколько иронично, что я утверждаю, что это чисто математическая задача, но в приведенном выше посте нет уравнений. Сила подхода Монте-Карло заключается в его простоте и, как следствие, обращении к математической интуиции.

5. Статистики/вероятники должны немедленно распознать распределение наклонений орбиты как вариант распределения Рэлея , который должен указывать на то, что произошло сжатие от 2D-переменных к 1D.

6. Мой код Matlab доступен по запросу.

В сферических полярных координатах одна из используемых координат представляет собой угол между направлением на точку в пространстве и «полюсом». Пусть этот «полюс» будет северным полюсом эклиптики, а угол назовем наклонением.$i$(т.е. наклонение – это угол между направлением, на которое указывает ось орбиты, и северным полюсом эклиптики).

Если множество орбит астероидов было случайно ориентировано в пространстве, то число орбит в любом заданном интервале наклона углов наклона$di$, будет пропорциональна площади на сфере, покрытой этим диапазоном углов наклона. Эта область$dA$дан кем-то

$$dA \propto \sin i\ di$$ Можно интуитивно увидеть этот результат, представив наклон как совместную широту на Земле (т.е. ноль градусов на северном полюсе, 90 градусов на экваторе) и спросив себя, какая часть поверхности Земли находится на низкой или высокой широте? Ответ: очень мало вблизи северного полюса и гораздо больше на экваторе. Точно так же случайным образом распределенные астероиды вряд ли бы имели$0<i<0.5^\circ$потому что в этом диапазоне очень мало площади на сфере.

Тот факт, что большинство астероидов$i<16^\circ$говорит вам, что они очень сильно сконцентрированы на орбитах в плоскости эклиптики, но отсутствие объектов с$i<0.5^\circ$Я думаю, что это связано с фактором, обсуждавшимся выше. На самом деле легко показать , что только 0,002% равномерно распределенного набора наклонений орбиты имели бы$0 < i < 0.5^\circ$. Даже если бы мы вместо этого (и, возможно, более реалистично) ограничивали бы все астероиды$0< i <16^{\circ}$, то только 0,09% из них имели бы$0<i<0.5^\circ$.

Чтобы быть уверенным, следует построить$1 - \cos i$по оси у, так как если бы орбиты астероидов были распределены равномерно, то использование этой координаты дало бы равные числа для равных интервалов по оси у. Таким образом, подлинные физические эффекты можно было легко отличить от простых математических следствий выбранной системы координат.

Я предполагаю, что это можно понять тривиально.

Каким было бы распределение наклонов окружностей, случайно распределенных в трех измерениях относительно некоторой точки? Мы могли бы сгенерировать их, равномерно распределив нормали к их орбитальным плоскостям на единичной сфере и назвав среднюю плоскость или плоскость, определяемую$\theta=\pi/2$эклиптика. Орбиты с наклонением$i=0$нормали будут направлены вверх ($\theta=0$) и те, которые вращаются «неправильным путем» с$i=\pi$тоже будет($\theta=\pi$).

Тогда у нас есть$dn/d\theta = \sin(\theta)$который равен нулю для орбит вблизи эклиптики и сначала возрастает линейно.

Падение на 10-15 градусов связано с тем, что Солнечная система не случайна, а является одновременно созданием и созданием углового момента.

Если вы возьмете эти данные и спроецируете их обратно на ось наклона, я предсказываю, что вы увидите примерно линейное увеличение от нуля. Если есть мертвая зона, очень близкая к нулю, это потому, что планеты разбросаны по наклону на несколько градусов и имеют склонность смешивать вещи.