Почему базис векторов и одноформ не может быть связан через метрику как вектор и одноформы?

Сначала я объясню три кратких предварительных вопроса, чтобы мы оба были на одной волне, а затем отвечу на вопрос. В дальнейшем я буду использовать тильды, чтобы отличать однозначные формы и их компоненты от векторов и их компонентов; традиционно отбросить эту дополнительную запись и просто написать$X_\mu = g_{\mu \nu}X^\nu$как будто$X$с обеих сторон - один и тот же объект. Однако, поскольку они явно не являются одним и тем же объектом, я использую обозначение$\tilde X_\mu = g_{\mu \nu} X^\nu$сделать это явным.

---

Предварительный № 1: Метрика

Метрика$\mathbf{g}$это объект, который линейно съедает два вектора и выдает скаляр (например, действительное число). Компоненты _ _$\mathbf{g}$в конкретном базисе — это то, что вы получаете, когда подаете метрике базисные векторы:

$$g_{\mu \nu} \equiv \mathbf{g}(\hat e_\mu,\hat e_\nu)$$

Поэтому вы часто видите действие$\mathbf{g}$на двух векторах$\mathbf{X}=X^\mu \hat e_\mu$и$\mathbf{Y} = Y^\nu \hat e_\nu$написано так:

$$\mathbf{g}(\mathbf X,\mathbf Y)=\mathbf{g}(X^\mu \hat e_\mu,Y^\nu \hat e_\nu) = X^\mu Y^\nu \mathbf{g}(\hat e_\mu,\hat e_\nu) = X^\mu Y^\nu g_{\mu \nu}$$

Мы можем вытащить компоненты$X^\mu,Y^\nu$снаружи, потому что$\mathbf g$является линейным.

---

Предварительный № 2: Единые формы

Одноформенная форма, или ковектор, — это объект, который линейно поглощает вектор и выдает скаляр. Обратите внимание, что следующее является одной формой:

$$\tilde{\mathbf X} := \mathbf{g}(\mathbf{X},\bullet)$$

Из вектора$\mathbf X$и метрика$\mathbf g$, мы можем построить единую форму$\tilde{\mathbf X}$подключив$\mathbf{X}$в первый слот$\mathbf g$и оставить второй слот пустым. Мы говорим, что единая форма$\tilde{\mathbf X}$двойственен вектору _$\mathbf X$.

$\tilde{\mathbf X}$затем действует на некоторый вектор$\mathbf Y$очевидным образом:

$$\tilde{\mathbf X}(\mathbf Y) = \mathbf{g}(\mathbf X,\mathbf Y)$$

В частности, если мы будем кормить$\tilde{\mathbf X}$базисный вектор$\hat e_\nu$, мы получаем

$$\tilde{\mathbf X}(\hat e_\nu) = \mathbf{g}(\mathbf X,\hat e_\nu) = X^\mu \mathbf{g}(\hat e_\mu, \hat e_\nu) = X^\mu g_{\mu \nu}$$ Если мы определим одноформенный базис$\hat \epsilon^\mu$иметь собственность$\hat \epsilon^\mu (\hat e_\nu) = \delta^\mu_\nu$, то мы можем расширить$\tilde{\mathbf X}$в его компонентах$\tilde X_\mu$. Выполняя одно и то же действие,

$$\tilde{\mathbf X}(\hat e_\nu) = \tilde X_\mu \hat \epsilon^\mu(\hat e_\nu) = \tilde X_\mu \delta^\mu_\nu = \tilde X_\nu$$

Сравнивая это с тем, что мы получили раньше, мы видим, что$\tilde X_\nu = X^\mu g_{\mu\nu}$.

Обратите внимание, что даже если мы говорим, что единичные формы поедают векторы и выделяют скаляры, мы также можем сказать, что векторы поедают единичные формы и выделяют скаляры. Мы просто определяем действие вектора$\mathbf X$на одной форме$\tilde{\mathbf Y}$быть

$$\mathbf X(\tilde{\mathbf Y}) := \tilde{\mathbf Y}(\mathbf X)$$ Это будет актуально через минуту.

---

Предварительный № 3: обратная метрика

Мы видели, что мы можем использовать метрику, чтобы связать вектор$\mathbf X$к двойственной форме$\tilde{\mathbf X}$; мы также можем пойти в другом направлении и связать ковектор$\tilde{\mathbf Y}$к двойственному вектору$\mathbf Y$. Мы делаем это, определяя так называемую обратную метрику $\tilde{\mathbf g}$, которая представляет собой карту, которая съедает две формы единицы и выдает скаляр.

По существу это просто метрика на пространстве одноформ точно так же, как$\mathbf g$является метрикой на пространстве векторов. Однако мы связываем их вместе, требуя, чтобы если векторы$\mathbf X$и$\mathbf Y$иметь однообразные дуалы$\tilde{\mathbf X}$и$\tilde{\mathbf Y}$, затем

$$\mathbf{g}(\mathbf X,\mathbf Y) = \tilde{\mathbf g}(\tilde{\mathbf X},\tilde{\mathbf Y})$$

Несложным упражнением будет показано, что это означает, что компоненты двойственной метрики$\tilde g^{\mu \nu}$удовлетворяют следующему соотношению к компонентам метрики:

$$\tilde g^{\mu \nu} g_{\nu \rho} = \delta^\mu_\rho$$

Это означает, что если мы представим их в матричной форме, то$\tilde g^{\mu\nu}$- матрица, обратная$g_{\mu\nu}$s - отсюда и название «обратная метрика». Теперь мы можем использовать это, чтобы связать$\tilde{\mathbf Y}$с вектором:

$$\mathbf Y = \tilde{\mathbf g}(\tilde{\mathbf{Y}},\bullet)$$ Это легко продемонстрировать (подав базисную форму$\hat\epsilon^\mu$к$\mathbf Y$как определено выше), что компоненты$\mathbf Y$как и ожидалось, даются $$Y^\mu = \tilde{g}^{\mu \nu}\tilde Y_\nu$$

---

Теперь можно ответить на ваш вопрос. Это правда, что метрика может «преобразовывать» векторы в единые формы в абстрактном смысле. Однако, когда мы говорим о «повышении» и «понижении» индексов, как это делаете вы, мы преобразовываем компоненты вектора в компоненты соответствующей одной формы.

Выражение, которое вы написали ($\tilde g^{\mu \nu} \hat e_\nu$, в моих обозначениях) представляет собой просто линейную комбинацию векторов и, следовательно, не является единой формой, как определено здесь. Это , однако, то, что вы получаете, когда преобразуете базовую единую форму$\hat \epsilon^\mu$в вектор, который я сейчас покажу.

Обратите внимание, что двойственная форма к единичному вектору$\hat e_\mu$не является основой$\hat \epsilon^\mu$; это одна форма

$$\tilde{\boldsymbol \omega} := \mathbf{g}(\hat e_\mu, \bullet)$$

который имеет компоненты

$$\tilde \omega_{\nu} \equiv \tilde{\boldsymbol\omega}(\hat e_\nu) = \mathbf{g}(\hat e_\mu, \hat e_\nu) = g_{\mu \nu}$$

Чтобы быть конкретным, двойственный к базисному вектору$\hat e_0$это одна форма

$$\tilde{\boldsymbol \omega} = g_{0\nu}\hat \epsilon^\nu = g_{00}\hat \epsilon^0 + g_{01}\hat \epsilon^1 + g_{02}\hat \epsilon^2 + g_{03} \hat \epsilon^3$$

Используя обратную метрику точно таким же образом, двойственная к базису форма$\hat \epsilon^0$это вектор

$$\boldsymbol \omega = \tilde g^{0\nu}\hat e_\nu = \tilde g^{00}\hat e_0 + \tilde g^{01} \hat e_1 + \tilde g^{02} \hat e_2 + \tilde g^{03} \hat e_3$$

---

В заключение, у нас нет этого

$$\hat\epsilon^\mu = g^{\mu \nu} \hat e_\nu$$ а скорее что $$\underbrace{\tilde{\mathbf g}(\hat \epsilon^\mu,\bullet)}_{\text{The vector *dual* to the basis one-form }\hat\epsilon^\mu} = g^{\mu \nu}\hat e_\nu$$