Манипуляции с нотацией тензорного индекса

Тензоры, насколько я понимаю, — это своего рода функции, которые содержат информацию о том, как преобразовать набор векторов и двойственных векторов, представленных матрицей. Однако то, что я не понимаю, - это разные обозначения, используемые для их представления. Я, например, видел оба

г мю ν "=" ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

т. е. метрический тензор, обозначаемый индексами ниже, и другие тензоры, обозначаемые, скажем, Т мю ν или Т мю ν . Они будут преобразовывать разные типы, например, два вектора ( г мю ν ), два двойственных вектора или вектор и двойственный вектор. Я не могу понять, как, учитывая тензор, переставить компоненты, чтобы сформировать другие тензоры, скажем, взять г мю ν и найти г мю ν , г мю ν , или даже г мю ν например. Как бы это сделать?

Ответы (1)

Вы повышаете тензоры, используя свой метрический тензор. Для плоского пространства-времени это метрика Минковского. η мю ν . Вы должны сжать метрику Минковского с одним из индексов вашего тензора, чтобы поднять его:

Т мю ν "=" η мю р Т р ν и Т мю ν "=" η ν р Т мю р . Обратите внимание, что по соглашению Эйнштейна о суммировании сокращенные индексы (в данном случае р ) означает, что вы суммируете по каждому индексу. Так

η мю р Т р ν "=" η мю 0 Т 0 ν + η мю 1 Т 1 ν + η мю 2 Т 2 ν + η мю 3 Т 3 ν .

Манипуляции с нотацией тензорного индекса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v