Как связаны эти два разных определения ковариантного вектора?

Термин «ковариантный вектор» является отвратительным неправильным употреблением. Во многих текстах этому не уделяется должного внимания (что, я думаю, важно знать). На самом деле мы имеем дело с объектами, известными как ковекторы, которые не совсем совпадают с векторами. Я дам краткое объяснение ниже.

Рассмотрим векторное пространство$V$над полем$F$. Поле возникает потому, что$V$имеет операцию скалярного умножения такую, что для любого$v \in V$и$k \in F$, у нас есть$kv \in V$. Другими словами,$F$это просто набор скаляров, используемых в скалярном умножении. На практике,$F$обычно$\mathbb{R}$или$\mathbb{C}$.

Если мы определим основу$\mathbf{e}_i$на$V$, то для каждого$v \in V$существуют уникальные коэффициенты$v^i$такой, что$v = v^i \mathbf{e}_i$. Теперь введем двойственное пространство$V^*$который представляет собой набор всех линейных карт из$V$к$F$. Если$\omega \in V^*$, то имеем$\omega(v) \in F$. Элементы$V$также являются линейными картами из$V^*$к$F$, так что у нас также есть$v(\omega) \in F$.

Элементы$V^*$называются ковекторами.

Теперь определим дуальный базис$\mathbf{e}^i$, который также часто (неправильно) называют контравариантным базисом

Следовательно, мы также можем разложить ковектор$\omega$на его составляющие как$\omega = \omega_i \mathbf{e}^i$. При этом у нас есть

Отсюда, как мы получаем свойства преобразования объектов? Предположим, мы определяем альтернативный базис$\bar{\mathbf{e}}_i = A^j_i \mathbf{e}_j$где$A$любая обратимая матрица. Скаляры, векторы и ковекторы существуют независимо от любого базиса и поэтому должны оставаться инвариантными при любом изменении базиса. Итак, мы видим, что$v^i$и$\mathbf{e}^i$трансформироваться с$A^{-1}$пока$\omega_i$трансформируется с$A$.

Теперь наступает ключевая часть. Метрический тензор$g$определяется как симметричный тензор такой, что для любых двух векторов$u$и$v$,$g(u,v)$является их скалярным произведением (или внутренним произведением) и является скаляром. Мы можем использовать его для «преобразования» любого вектора в соответствующий ковектор. Если у нас есть вектор$v$, его соответствующий ковектор равен

Отсюда мы видим, что компоненты соответствующего ковектора есть$g_{ij} v^j$. Вот что на самом деле подразумевается под повышением и понижением индексов. Что мы на самом деле делаем, так это находим компоненты соответствующего ковектора в двойственном пространстве. Мы можем применить ту же процедуру к произвольным тензорам, сжав один слот$g$с одним слотом тензора.

Важным наблюдением здесь является то, что, как только метрика определена, мы можем «притвориться», что векторы и ковекторы одинаковы. Если у меня изначально есть тензорные компоненты $T^{ijk}$, мы можем автоматически использовать$T^{\; jk}_i$,$T_{ijk}$,$T^{i \; k}_{\; j}$и так далее в расчетах без двусмысленности. Но сами тензоры живут в разных пространствах. После всего,$T^{ijk}$не тензор,$T^{ijk} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \mathbf{e}_k$является.

Несколько дополнительных вещей, которые, возможно, будет полезно отметить:

1. Для введения базиса не обязательно иметь систему координат. Система координат$x^i$является частью конструкции коллектора$M$. Для любой точки$p \in M$, его касательное пространство,$T_pM$, является векторным пространством. Это векторное пространство представляет собой множество производных в$p$по всем гладким кривым, проходящим через$p$. Вот почему касательные векторы являются частными производными. Тогда основой являются производные вдоль самих координатных кривых,$\mathbf{e}_i = \partial /\partial x^i$.
2. Только если$\mathbf{e}_i = \partial /\partial x^i$тогда матрица$A$выше становится обратной матрицей Якоби$\partial x /\partial \bar{x}$, и$A^{-1}$становится якобианом$\partial \bar{x} /\partial x$.
3. Термины «контравариантный» и «ковариантный» устарели и исходят из того, что$v^i$трансформироваться с$A^{-1}$("против") в то время как$\omega_i$трансформироваться с$A$("со"). Плохая практика продолжать использовать их в современном контексте, когда тензоры обрабатываются с использованием нотации абстрактного индекса (или других методов без координат).
4. В евклидовом пространстве с декартовыми координатами нет разницы между векторами и ковекторами, потому что компоненты метрического тензора — это всего лишь единичная матрица. Только в этом частном случае нет необходимости различать векторы и ковекторы, и размещение индекса не имеет значения.

Чтобы дать более многословный ответ, чтобы дополнить хороший, более подробный ответ Винсента Такера:

Отправной точкой является то, что у нас есть многообразие,$M$. Касательное пространство в точке$p$в$M$обозначается$T_pM$а кокасательное пространство ( дуальное пространство касательного пространства) в той же точке обозначается$T^*_pM$. Определение (ко)векторного поля на этом многообразии включает в себя выбор (ко)вектора в каждом (ко)касательном пространстве (точный термин - сечение ) . На нашем многообразии мы можем определить координаты обычным способом с помощью диаграмм , которые эффективно помечают каждую точку многообразия уникальным набором чисел и позволяют нам более удобно выполнять физические вычисления, а не работать полностью абстрактно.

Надеюсь, вышеизложенное в какой-то степени понятно.

После того, как мы выбрали координаты на нашем многообразии, есть естественный смысл, в котором мы можем использовать эти координаты для определения базиса для нашего касательного и кокасательного пространств (посредством частных и внешних производных функций координат соответственно). Обратите внимание, что когда мы меняем координату на нашем многообразии, базис на наших касательном и кокасательном пространствах также изменится. Так что именно в этом смысле изменение координат изменит компоненты векторов в векторном поле на$M$, так как изменение координат влечет за собой изменение базиса касательных пространств (то же верно и для кокасательных векторов).

В физике мы часто используем это для определения векторов и ковекторов по тому, «как они преобразуются», и эти два определения такие же, как вы дали в своем вопросе.

Третье определение, которое вы дали, просто подчеркивает тот факт, что в физике у нас часто есть метрика на нашем многообразии (например, в общей теории относительности), и эта метрика определяет линейный изоморфизм между касательным пространством в каждой точке и кокасательным пространством в точке . тот же пункт. Именно в этом смысле метрика «поднимает и опускает» индексы векторов и ковекторов, каждый вектор$\vec v\in T_pM$присваивается этим изоморфизмом единственному$^{[1]}$ковектор$\tilde\omega\in T^*_pM$.

Так что все ваши определения в какой-то степени верны, ваша путаница просто происходит из-за того (честно говоря, ужасного) способа, которым дифференциальная геометрия обязательно вводится в физику, чтобы не слишком усердствовать с математическими деталями.

Надеюсь, это будет полезно.

$[1]$- Обратите внимание, что изоморфизм по определению является биекцией (которая, в частности, является отображением 1-в-1), которая сохраняет некоторую математическую структуру (в данном случае операции векторного пространства над$T_pM$и$T^*_pM$).