Почему частота гравитационных волн, исходящих от сверхмассивных чёрных дыр, отличается от частоты малых компактных двойных систем?

Причина верхнего предела заключается в том, что гравитационная сила масштабируется как произведение масс на квадрат расстояния и что максимальное сближение черных дыр ограничено их горизонтами событий. Нижний предел связан с тем, что амплитуда волн становится меньше и становится незаметной на более низких частотах.

Более детально:

Частота гравитационных волн в два раза превышает орбитальную частоту.

Третий закон Кеплера говорит нам, что период обращения$P$относится к общей массе$M$и орбитальное разделение$a$в качестве

Орбитальная частота$\omega =2\pi/P$так

Поэтому частота гравитационных волн зависит как от массы, так и от расстояния двойной системы.

Однако максимальная частота возникает при максимальном сближении, что для черных дыр происходит, когда их горизонты событий соприкасаются. Радиус Шварцшильда равен$2GfM/c^2$, куда$f$- доля массы системы каждой черной дыры. Таким образом, ближайшее разделение$a_{\rm min}$представляет собой сумму радиусов Шварцшильда и просто$2GM/c^2$, поскольку$f_1+f_2=1$.

С использованием$a_{\rm min}$за$a$в уравнении (1) мы видим, что максимальная частота$\omega^{\rm max} \propto M^{1/2}a_{\rm min}^{-3/2} \propto M^{-1}$Таким образом, максимальная частота увеличивается по мере уменьшения массы, а поскольку сверхмассивные черные дыры в миллион или миллиард раз массивнее звездных черных дыр, максимальные частоты соответственно меньше.

Нижние пределы частоты на самом деле вовсе не являются ограничениями. Частоты могут быть любыми меньшими, чем максимум. Однако амплитуда гравитационных волн зависит от ускорения масс, которое, в свою очередь, уменьшается по мере того, как они удаляются друг от друга. Это эффективно дает окно между тем, где волны становятся обнаруживаемыми, и максимальной частотой.

В общем случае частота гравитационных волн, излучаемых двойной системой, равна$f=2f_{\text{orb}}$, куда$f_{\text{orb}}$- орбитальная частота системы. На поздних фазах эволюции, во время которых можно обнаружить гравитационные волны от двойных сверхмассивных черных дыр, орбитальные периоды все еще сравнительно велики и измеряются месяцами или годами.

Вблизи слияния у нас все еще есть верхняя граница частоты, потому что максимальная частота$f_{\text{max}}$пропорциональна$\sqrt{G\rho}$, куда$\rho$является своего рода плотностью для системы. В случае черной дыры$\rho\propto M/R^3$, а поскольку радиус Шварцшильда $R_s\propto M$, мы находим, что$f_{\text{max}}\propto\sqrt{M/M^3}=M^{-1}$. Следовательно, чем массивнее черная дыра, тем ниже максимальная орбитальная частота. Для сверхмассивных черных дыр это оказывается в наногерцовом режиме, плюс-минус порядок величины.